Тўла дифференциал. Юқори тартибли хусусий ҳосилар ва тўла дифференциаллар. Мураккаб функциянинг ҳосиласи

2– М А Ъ Р У З А
Тўла дифференциал.
Юқори тартибли хусусий ҳосилар ва тўла дифференциаллар. Мураккаб функциянинг ҳосиласи.
Тўла дифференциал.
Икки ўзгарувчининг функцияси ни қараймиз. Ихтиёрий P(x,y) нуқтани оламиз, х ва у ўзгарувчиларга мос равишда ва орттирмалар берамиз ва нуқтани ҳосил қиламиз. Бу нуқталар орасидаги масофани ҳарфи билан белгилаймиз (1-шакл).
бўлиши равшан. функция формула билан аниқланадиган тўлиқ
орттирмага эга бўлади.
Таъриф: Агар функция-нинг нуқтадаги тўлиқ орттирмаси
(2.1) кўринишда ифодалаш мумкин бўлса, бу
функция ) нуқтада дифференциалланув- чи дейилади, бу ерда A, B, ва га боғлиқ бўлмаган сонлар. эса , да чексиз кичик функция, аниқроғи, ва нуқталар орасидаги масофага қараганда юқори тартибли чексиз кичик миқдордир (2-чизма), яъни
(2.2)
Ифоданинг , , га нисбатан чизиқли ифоданинг бош бўлаги, иккинчиси ва га нисбатан чизиқли бўлмаган ифода, у нолга ва га нисбатан тезроқ интилади, яъни юқори тартибли чексиз кичик миқдордир.
Таъриф: Дифференциалланувчи функция аргументларининг , орттирма-ларига нисбатан чизиқли ифодаси бўлган тўлиқ орттирмасининг бош бўлаги бу функциянинг тўлиқ дифференциали деб аталади.
Шундай қилиб, функция
нуқтада дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда унинг тўлиқ дифференциали ушбу
(2.3)
формула билан аниқланади.
2. Тақрибий ҳисоблаш формуласи.
тақрибий ҳисоблаш формулалари.
Мисол: функциянинг хусусий ва тўла дифференциали топилсин:
Юқори тартибли хусусий ҳосилар ва тўла дифференциаллар.
Таъриф: функциянинг ва 1–тартибли хусусий ҳосилаларидан x ва y ўзгарувчилар бўйича олинган ҳосилалар , агар улар мавжуд бўлса уларга 2–тартибли хусусий ҳосилалар дейилади:
ларга
аралаш
хусусий
ҳосилалар
дейилади.
Теорема: Агар ва аралаш ҳосилалар нуқтанинг бирор - атрофида мавжуд ва шу нуқтада узлуксиз бўлса, у ҳолда улар шу нуқтада ўзаро тенг бўлади, яъни =
Мисол:
функциянинг ва
хусусий ҳосиласи топилсин.
Бу ерда
2.Мураккаб функциянинг ҳосиласи .
А) Икки ўзгарувчининг дифферен-циалланувчи функцияси берилган бўлсин, u ва v аргументлар ҳам x эркин ўзгарувчининг дифференциалланувчи функциялари бўлсин, яъни ва
У ҳолда
функция х эркин ўзгарувчининг мураккаб функцияси, u ва v аргументлар - оралиқ аргументлар бўлади.
,
.
Б) Агар мураккаб функциянинг ҳосиласи.
( y – const ) ,
( x - const ).