|
2.2. Xarakteristika tenglamalarini sonli yechish.
Oxy tekisligida koordinat alari (x1,y1) va (x2, y2) bo`lgan 1- va 2- nuqtalarni olamiz (1-chizma). Faraz qilaylik, bu nuqtalarda (1) sistemaning izlanayotgan u, v yechimlarining qiymatlari ma’lum bo`lsin. Ularning 1- va 2- nuqtalardagi qiymatlarini u1, v1 orqali belgilaymiz. Keyin xarakteristikalarning birinchi oilasiga mansub bo`lib, xarakteristika yo`nalishi bo`yicha yo`nalgan va l nuqtadan chiqasigan to`g`ri chiziqni, shuningdek, 2-nuqtadan chiqadigan xarakteristikalarning ikkinchi oilasiga tegishli bo`lgan xarakteristika bo`yicha yo`nalgan to`g`ri chiziqni o`tkazamiz. Bu to`g`ri chiziqni qandaydir 3 -nuqtada kesishadi. Keyin (11) va (14) tenglamalarni 1- va 3- nuqtalarni hamda 2- va 3-nuqtalarni birlashtiruvchi chiziqlar bo`yicha integrallaymiz, natijada x3, y3 noma’lum koordinatalarni hamda (x3, y3) nuqtadagi u, v yechimning qiymatlari u3, v3 ni topish uchun quyidagi tenglamalarga ega bo`lamiz:
Bu integrallarni biror taqribiy metod bilan hisoblab, x3(1), y3(1) , u3(1) , v3(1) takribiy yechimlarni topib olamiz. Bu yerda ikki metod — Eyler metodining analogi va trapetsiyalar metodining analogini qo`llash mumkin. Biz shulardan bittasini keltiramiz. Bu metod adabiyotlarda Masso metodi ham deyiladi.
Eyler metodining analogi. Qulay bo`lishi uchun , belgilashlarni kiritamiz va A, B, C, M, N ifodalarning (xi, yi ) (i = 1,2) nuqtalardagi qiymatlarini mos ravishda Ai(1) , Bi(1) , Ci(1) , Mi(1) , Ni(1) orqali belgilaymiz. Yuqoridagi (16) - (19) integrallarni hisoblash uchun chap to`gri burchakli to`rtburchaklar formulasini qo`llaymiz, natijada x3(1), y3(1) , u3(1) , v3(1) larni topish uchun quyidagi taqribiy chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz:
Bu tengliklarning har birining xatoligi O(h2) bo`lib bunda Bu sistemadan topilgan x3(1), y3(1) , u3(1) ,v3(1) taqribiy qiymatlarning aniqligi yetarli bo`lmasligi mumkin. Chunki 1 va 2 nuqtalardan chiqqan xarakteristikalarni to`gri chiziqlarning kesmasi bilan almashtirdik, aslida esa ular egri chiziqli xarakteristikalarning kesishish nuqtasi bo`lishi mumkin. Bundan tashqari, egri chiziqli integrallarni to`gri chiziq bo`yicha olingan integral bilan almashtirdik, maʼlumki, bu qo`shimcha xatolikka olib keladi. Shu munosabat bilan x3(1), y3(1) , u3(1) ,v3(1) larning aniqroq, qiymatini topish masalasi tug`iladi. Aniqlashtirishning bir necha usullari bor. Bularning biri quyidagichadir:
Oldin topilgan birinchi yaqinlashish dan foydalanib, keyingi yaqinlashish sifatida quyidagi o`rta arifmetik sonlar olinadi:
Xuddi shunga o`xshash i=1,2 uchun quyidagi miqdorlar aniqlanadi:
Bu yerda sonlar Ai(1) , Bi(1) , Ci(1) , Mi(1) , Ni(1) sonlar A, B, C, M, N determinantlarning birinchi yaqinlashishda topilgan x3(1), y3(1) , u3(1) ,v3(1) nuqtadagi qiymati; 3-nuqtada izlanayotgan ikkinchi yakinlashish x3(2), y3(2) , u3(2) ,v3(2) lar ketma-ket quyidagi chiziqi algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi:
Bu sistemalarning birinchisidan avval koordinatalarning aniqlangan x3(2), y3(2) qiymatlarini, keyingi sistemadan esa izlanayotgan funksiyalarning aniqlangan u3(2) ,v3(2) qiymatlarini topamiz. Agar aniqlik yetarli bo`lmasa, bu iteratsion jarayonni davom ettiramiz. qachonki topilgan ikkita ketma-ket yaqinlashishning qiymatlari kerakli aniqlikda ustma-ust tushsa, jarayonni to`xtatamiz. Agar h yetarlicha kichik bo`lsa, odatda, ikkita aniqlash yetarli bo`ladi, chunki keyingi yaqinlashishlarda aniqlik oshmaydi. Shunday qilib, maʼlum (x1, y1, u1 ,v1 ) va (x2, y2, u2 ,v2) nuqtalar bo`yicha uchinchi(x3, y3, u3 ,v3 ) nuqtani topish masalasini yechdik. Biz bu metodni (1) sistema uchun qo`yiladigan har xil masalalarga qo`llashimiz mumkin. Shularning ayrimlarini ko`rib chiqamiz.
si. Faraz kilaylik, (7.1) sistema, 10.7.1 da
anikdangan yetarlicha sillik, S va birorta nuk,tasida \am xarakteris
tik yunalishga ega bulmagan egri chizik, berilgan bulsin (16-chiz
ma). Koshi masalasi kuyidagicha kuyiladi:
i, § funksiyalarning S ning biror yoyida berilgan k,iymatlari
buyicha (7.1) sistemaning yechimi topilsin. Buning uchun yoyda bir-
biriga yak,in nuktalar olamiz. 16-chizmada /, 2, ..., 6 nuk^talar olin-
gan. Avval 1 va 2nuk,talar buyicha yukrridagi metod ga kura 7- nuk^a-
ni topamiz (yaʼni uning koordinatalarini va i, d ning bu nuktada-
^ kdndaydir sinik, chizik, bulib, a
nukdadan chikddigan birinchi opla
ti kiymatini). Bu ishni kdpish
mumkin, chunki 1 va 2 nuktalar
uchun kerakli mikdorlar dastlab
ki shartlardan maʼlum. Keyin 2
va 3 nuk,talar buyicha ^-nuktani
va \.k. 5 va 6 nuktalar buyicha 11-
HVKjaHp topamiz. Endi 7, 8, 9, 10,
11 nuktalarni dastlabki nukta-
lar deb kabul kilib, bu jarayon
ni davom etgiramiz. Bu jarayon ase
«uchburchak» tuldirilguncha davom
ettiriladi (17-chizma). Bunda as
www.ziyouz.com kutubxonasi
17-chizma.
ga mansub bulgan xarakteristikaga
yak^inlashishdir, s esa b nuk,tadan
chikdsigan ikkinchi xarakteristika
ga yak,inlashish buladi.
Bunday kurishni Segri chizik,-
ning boshkd tomonidan xdm baja-
rish mumkin. Shunda biz adb «uch-
burchak»ka ega bulamiz, bunda ad
tomon a nuktadan chikdsigan ik
kinchi oilaga mansub xarakteris-
tikaning yatsinlashishi bulib, db
tomon b nuktadan chikdsigan bi
rinchi oilaga mansub xarakateristikaning yak;inlashishidir. Anik,
yechim uchun bu soxd a va b chetki nuk,talardan chik,ib, yechimga mos
keluvchi turtta xarakteristikadan tashkil topadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
