Mavzu: Kvazigiperbolik differentsial tenglamalar sistemasi xarakteristikalarining tenglamalari. Reja

Mavzu: Kvazigiperbolik differentsial tenglamalar sistemasi xarakteristikalarining tenglamalari.

REJA

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Asosiy qism.
   

2.1. Kvazigiperbolik differensial tenglamalar sistemasi xa-

rakteristikalarining tenglamalari

2.2. Xarakteristika tenglamalarini sonli yechish.

2.3. Birinchi va ikkinchi aralash masalalar.

III. Xulosa.

4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

2.1. Kvazigiperbolik differensial tenglamalar sistemasi xa-

rakteristikalarining tenglamalari.

Ma’lumki, har qanday xususiy hosilali differensial tenglamalarni almashtirishlar bajarish natijasida unga teng kuchli bo`lgan birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin. Ko`p jihatdan bunday sistemalar nazariy o`rganishda ham, takribiy yechishda ham ma’lum afzalliklarga egadir.

Yozuv murakkab bo`lmasligi va asosiy g`oya tushunarli bo`lishi uchun ikkita birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:

(1)

Bu yerda

funksiyalar x ,y, u, v o`zgaruvchilarning biror o`zgarish soxasida uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bunday sistemalar kvazichizikli deyiladi. Agar koeffisiyentlar faqat x va y ga bog`lik, bo`lsa, u xolda (1) sistema yarim chizikli deyiladi. Agar, bundan tashqari, lar u va v ga nisbatan chiziqli funksiya bo`lsa, u holda (1) sistema chiziqli sistema deyiladi.

Kvazichiziqlti sistemalar ko`pincha gazodinamika masalalarida uchraydi.

Faraz qilaylik, G soxa Oxy tekislikda yotsin va u(x, y), v(x, y) funksiyalar (1) sistemaning G soxada uzluksiz differensiallanuvchi yechimi bo`lib, C esa G soxada joylashgan karrali nuqtalarga ega bo`lmagan silliq egri chiziq, bo`lsin. Biz bu yerda u=u(x,y) va v=v(x,y) yechimning C ustidagi qiymatiga ko`ra (1) sistemadan foydalanib, C ustida

xususiy hosilalarning qiymatini aniqlash masalasini qaraymiz.

Avvalo, (1) sistemadan ko`ramizki, C egri chiziq, ustida , xususiy hosilalarning qiymatlari

(2)

munosabatlarni va C egri chiziq,ustida

(3)

differensial munosabatlarni qanoatlantiradi. Shunday qilib, larni aniqash uchun to`rtta birinchi tartibli chiziqli tenglamaga ega bo`lamiz.

Endi C ustida dx ≠ 0 deb faraz qilib, (3) ni

(4)

ko`rinishda yozib olamiz va (3), (4) munosabatlardan p<sub>1</sub> va p<sub>2</sub> ni yo`qotamiz, natijada q₁ va q₂ ga nisbatan quyidagi sistemani hosil qilamiz:

(5)

Agar bu sistemadan q₁ va q₂ ni topish mumkin bo`lsa, u holda (4) dan p<sub>1</sub> va p<sub>2</sub> ni topamiz. Biz C ustida dx ≠ 0 deb faraz qilgan edik, aks holda dy ≠ 0 bo`lib, (4) ning o`rniga

(6)

munosabatlarga ega bo`lamiz va (5) ning o`rniga

(7)

sistemaga ega bo`lamiz. (5) va (7) sistemalarning aniqlovchilari faqat ishorasi bilan farq qilishi mumkin. (5) sistemaning determinantini D orqali belgilaymiz:

(8)

Bu yerda ikki holni ko`ramiz:

1) D determinant S egri chiziqning birorta nuqtasida ham nolga aylanmaydi;

2) D determinant C egri chiziq, ustida aynan nolga teng.

Birinchi holda (5) sistema q₁ q₂ ga nisbatan yagona yechimga ega, demak, C egri chiziqning har bir nuqtasida u(x, y) va v(x, y) larning C dagi qiymatlari hamda (1) sistema bo`yicha bu funksiyalarning xususiy hosilalarini topish mumkin.

Ikkinchi holda (1) sistemaning yechimi mavjud deb faraz qilganligimiz uchun (5) sistema o`rindosh bo`lishi kerak. Ammo ∆≡0 bo`lganligi uchun (5) sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Shunday qilib, ikkinchi holda u(x, y), v(x, y) larning C ustidagi qiymatlari bo`yicha yechimlarning xususiy hosilalarini C ustida bir qiymatli ravishda aniqlab bo`lmaydi. C egri chiziq, bilan yechimning bu egri chiziq, bo`ylab olingan qiymati birgalikda (1) sistemaning (x, y, u, v) fazodagi xarakteristik egri chizig`i deyiladi. Bu egri chiziq, bo`ylab (1) sistemaning yechimi tarmoqlanishi mumkin. C xarakteristika xarakteristik egri chiziqning Oxy tekisligidagi proyeksiyasi bo`ladi.

C xarakteristikaga o`tkazilgan urinmaning Ox o`qi bilan tashkil etgan burchagining tangensi quyidagi tenglamani qanoatlantiradi:

(9)

Belgilangan (x, y, u, v) nuqtada bu ga nisbatan kvadrat tenglama bo`ladi. Agar bu tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil bo`lsa, u holda (1) sistema (x, y, u, v) nuqtada giperbolik sistema deyiladi. Agar bu xususiyat (x, y, u, v) fazoning biror sohasining har bir nuqtasida o`rinli bo`lsa, u holda (1) sistema bu sohada giperbolik sistemani tashkil etadi deyiladi. Biz faqat giperbolik sistemalarni qaraymiz.

Ravshanki, (1) giperbolik sistemaning berilgan u(x, y), v(x, y) yechimi aniqlangan G sohaning har bir nuqtasida (9) tenglama ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo`lib, ular berilgan yechimga mos keladigan xarakteristikalarga o`tkazilgan urinmalarning ikkita yo`nalishini aniqlaydi. Berilgan yechimga mos keladigan (9) tenglamaning ildizlarini <sub>1</sub> va <sub>2</sub> orqali belgilaymiz (ular x va y ning funksiyalari bo`ladi), natijada quyidagi ikkita tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz:

Bu tenglamalarning har biri C sohani to`shovchi bir parametrli egri chiziqlar oilasini — bu tenglamaning integral chiziqlarini tashkil etadi. G sohaning har bir nuqtasidan oilaning bittagina egri chizig`i o`tadi. (9) tenglamani birinchi tartibli ikkinchi darajali differensial tenglama sifatida qarasak, u holda (1) sistemaning berilgan yechimi u, v uchun ikkita bir parametrli egri chiziqlar oilasi yoki xarakteristikalar oilasiga ega bo`lamiz.

G sohaning xar bir nuqtasidan har bir oilaning bittagina xarakteristikasi o`tadi. Agar (1) sistema qat’iy kvazichiziqli bo`lsa, u holda uning xarakteristikasi sistema yechimining tanlanishiga qat’iy bog`liq bo`lib, faqat yechim ma’lum bo`lgandagina uni aniqlash mumkin. Chiziqli sistema uchun koeffisiyentlar u, v larga bog`lik bo`lmaydi va shuning uchun ham (9)

tenglamadan xarakteristikalarni u, v larga bog`lik, bo`lmagan holda aniqlash

mumkin.

Faraz qilaylik, C egri chiziq, Oxy tekisligida (1) sistemaning u, v berilgan yechimiga mos keladigan xarakteristika bo`lsin. C egri chiziqda D determinant nolga teng. Ammo (5) sistema o`rindosh bo`lganligi uchun D determinantda mos ravishda 1- va 2- ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirish natijasida hosil bo`ladigan ∆₁ va ∆₂ determinantlar ham nolga aylanishi kerak. Shunday qilib, C egri chiziqda u, v quyidagi uchta munosabat bilan bog`langan:

∆=0, ∆₁ =0, ∆₂ =0.

Ammo bu shartlar o`zaro erkli emas. (1) sistema giperbolik bo`lganligi uchun ∆=0 va, demak, bu determinantning ustunlari orasida chiziqli bog`lanish mavjud. Shuning uchun ham ∆=0, ∆₁ =0 va ∆=0, ∆₂ =0 shartlarning biridan ikkinchisi kelib chiqadi. Biz bu shartlardan asosiysi sifatida

∆=0, ∆₁ =0 (10)

ni olamiz. Shunday qilib, C xarakteristikada u(x, y), v(x, y) yechim xarakteristika tenglamalari deb ataluvchi ikkita (10) shartlar bilan bog`langan. Bulardan birinchisi xarakteristika yo`nalishining tenglamasi, ikkinchisi esa xarakteristika ustida differensial munosabat deyiladi.

Shuni ta’kidlashimiz kerakki, agar biz xarakteristikani emas, xarakteristik egri chiziqni qarasak, u holda u (1) sistemaning bir necha yechimiga tegishli bo`lishi mumkin. Agar yechimning uzluksiz differensiallanuvchi bo`lishidan voz kechsak, u holda yechim uzluksiz bo`la turib, birinchi hosilalar faqat xarakteristika bo`ylab uzilishga ega bo`lishi mumkin. Bunday yechimlarni quyidagicha topish mumkin:

Faraz qilaylik, u⁽¹⁾(x, y), v⁽¹⁾(x, y) va u⁽²⁾(x, y), v⁽²⁾(x, y) lar (1) sistemaning ikkita yechimi bo`lib, ular G sohada uzluksiz hosilaga egabo`lishsin, C esa har ikkala yechimga tegishli bo`lgan xarakteristik egri

chiziqning Oxy tekisligidagi proyeksiyasi bo`lsin. Quyidagi yechimni qaraymiz:

Bu yechim G soxdda uzluksiz, ammo C da hosilalari uzilishga ega. Yuqoridagilardan quyidagi xulosaga kelamiz: xarakteristikalar yo`nalishlarining tenglamalari quyidagilardan iborat:

(11)

bunda ₁ va ₂

(12)

tenglamaning ildizlari. Xarakteristikalar ustidagi differensial munosabatlar

(13)

yoki

(14)

dan iboratdir, bu yerda

(15)

Shuni ta’kidlash kerakki, agar (1) sistema chiziqli yoki yarim chiziqli bo`lsa, ya’ni koeffisiyentlar u, v ga bog`liq, bo`lmasa, u holda <sub>1</sub> va <sub>2</sub>lar ham u, v ga bog`lik, bo`lmay, (11) Sistema quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:

Bunday xarakteristikalarni Oxy tekisligida u, v yechimga bog`lik, bo`lmagan holda topish mumkin. Kvazichiziqli bo`lgan holda xarakteristikalar u, v yechimga bog`liq bo`lib, xarakteristikalar turini ko`rish bilan bu tur tugunlarida u va v yechimlarning qiymatini topish bir vaqtda olib borilishi kerak.