Mavzu: Kvadratik formaning rangi haqidagi teorema. Inertsiya qonuni haqidagi teoremaga doir masalalar yechish. Reja

27.1-teorema. Agar kvadratik forma ikki hil usul bilan kanonik ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsa, u holda bu kanonik ko‘rinishlarda musbat, manfiy va nolga teng koeffitsientlarning soni ikkala holatda ham bir hil bo‘ladi.
Dastlab quyidagi lemmani isbot qilamiz.
27.2-lemma. o‘lchamli fazoda mos tartibda va o‘lchamli ikkita
va qism fazolar berilgan bo‘lib, bo‘lsin. U holda bu qism fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo‘lgan noldan farqli x vektor mavjud.
Isbot. Berilgan va qism fazolarida mos ravishda va bazislar olaylik. ekanligi uchun va vektorlar chiziqli bog’liq bo’ladi. Demak kamida bittasi noldan farqli bo’lgan , sonlari topilib,

ya’ni

Agar

deb faraz qilsak, vektor bir tomondan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishini ko’rishimiz mumkin. Demak vektor va qism-fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo’ladi.
Endi ushbu vektorni noldan farqli ekanligini ko’rsatamiz. Agar bo’lsa

va vektorlar sistemalari mos ravishda va qism fazolarining bazislari bo’lganligi uchun, bu vektorlar sistemalari chiziqli erkli. Bunda esa va ekanligi kelib chiqadi. Bu esa va sonlarning kamida bittasi noldan farqli ekanligiga ziddir. Demak, .
27.3-ta’rif. Kvadratik formaning kanonik shaklidagi noldan farqli koeffitsientlar soni kvadratik formaning rangi deyiladi.
Yuqorida isbot qilingan inersiya qonunidan kvadratik formaning rangi faqat uning o‘ziga bog‘liq bo‘lib, kanonik shaklga keltirish usuliga bog‘liq emasligi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
Amalda kvadratik formaning rangini kvadratik formaning kanonik shaklidan foydalanmay turib aniqlash usuli mavjud. Buning uchun kvadratik forma rangi bilan uning biror bazisdagi matritsasi rangi orasidagi bog‘lanishni o‘rnatish kifoya.