Mavzu: Kvadratik formaning rangi haqidagi teorema. Inertsiya qonuni haqidagi teoremaga doir masalalar yechish. Reja

Misol 26.1. Bizga uch o’lchamli fazodagi biror bazisda

kvadratik forma berilgan bo’lsin.
almashtirish bajarsak, u holda

So’ngra almashtirish qilib, kvadratik forma uchun yangi ifoda hosil qilamiz:

Shunday qilib, almashtirish kvadratik formani kanonik shaklga keladi..
Ta’kidlash joizki, kvadrat formani Lagranj usuli bilan kanonik ko’rinishga keltirishda qo’llaniladigan koordinatalar orqali, o’z navbatida koordinatalar esa, va shu tarzda oxirgi koordinatalar o’zidan oldingi koordinatalar orqali ifodalanadi. Bundan foydalanib koordinatalar dastlabki koordinatalar orqali ifodalash mumkin:

Koordinatalarni almashtirish matritsasi bazis almashtirish matritsasi teskarisining tranpanirlanganligiga teng bo’lishini hisobga olib, yangi bazis vektorlarni eski bazis vektorlari orqali ifodalashimiz mumkin, ya’ni

Agar kvadratik formani kanonik shaklga keltirish jarayonida ikki koordinatani birdaniga o‘zgartiradigan almashtirishni bajarishga to‘g‘ri kelmasa, u holda almashtirish formulalarining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

ya’ni almashtirish matritsasi uchburchak ko’rinishga keladi. U holda bazisni almashtirish matritsasi ham

ko’rinishda bo’ladi.
Endi kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirishning yana bir usulini keltiramiz. Avvalgi usuldan farqli ravishda bu usul izlanayotgan bazisni to‘g‘ridan-to‘g‘ri boshlang‘ich bazis orqali ifodasini beradi.
Aytalyik,

matritsa kvadratik formaning bazisdagi matritsasi bo’lsin. Ushbu matritsaning quyodagi bosh minorlarini qaraymiz:
.

Avvalgi mavzuda kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish usullari bilan tanishdik. Ma’lumki, kvadratik formani turli hil usullar bilan kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin bo‘lib, uni kanonik ko‘rinishga olib keluvchi bazislar ham turlicha bo‘lishi mumkin.

Kvadratik formani

ko‘rinishga keltiruvchi bazis vektorlarni ularga proporsional vektorlar bilan almashtirish orqali noldan farqli koeffitsientlarni 1 yoki –1 ga teng qilib olish mumkin. Demak, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishini mos tartibda 0, 1 va –1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bilan xarakterlash mumkin.
Tabiiyki, bazisni turlicha tanlab olish mumkinligi uchun, 0, 1 va –1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bazisni tanlab olishga bog‘liqmi yoki yo‘qmi degan savol tug‘iladi.
Masalan, kvadratik forma biror bazisda matritsaga ega bo‘lib, matritsaning bosh minorlari noldan farqli bo‘lsa, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishidagi barcha koeffitsientlar noldan farqli va manfiy koeffisientlar soni determinantlar qatoridagi ishora almashishlar soniga teng bo‘ladi.
Ammo boshqa bir boshlang‘ich bazis olib, bu bazisga mos keluvchi matritsani, orqali belgilab, determinantlarni topsak, hamda kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirsak, nima uchun bu holda ham ishora almashinishlar soni yuqoridagi holat bilan bir hil bo‘lishi bir qarashda emas.
Biz ushbu paragrafda kvadratik formaning inersiya qonuni deb
ataluvchi quyidagi teoremani isbot qilamiz.