Mavzu. Ko`p o`zgaruvchili funksiya va uning limiti 22-ma’ruza Reja

MAVZU. Ko`p o`zgaruvchili funksiya va uning limiti
22-ma’ruza
Reja
1⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi.
2⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya limiti (karrali limiti) ta’riflari.
3⁰. Funksiya limitining mavjudligi.


Tayanch so’z va iboralar: ko‘p o‘zgaruvchili funksiya, ko‘p o‘zgaruvchili funksiya limiti, funksiya limitining mavjudligi, karrali limiti


1⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi.
Faraz qilaylik, fazoda to‘plam berilgan bo‘lsin: .
1-ta’rif. Agar to‘plamdagi har bir nuqtaga biror qoidaga ko‘ra bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lsa, to‘plamda ko‘p o‘zgaruvchili ( ta o‘zgaruvchili) funksiya berilgan (aniqlangan) deyiladi. Uni
yoki

kabi belgilanadi. Bunda funksiyaning berilish (aniqlanish) to‘plami, lar (erkli o‘zgaruchilar) funksiya argumentlari, esa larning funksiyasi deyiladi.
Masalan, - har bir

nuqtaga ushbu

qoida bilan bitta haqiqiy sonini mos qo‘ysin. Bu holda to‘plamda aniqlangan

funksiya hosil bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya (ko‘p hollarda bu funksiyani kabi yozamiz) to‘plamda berilgan bo‘lsin. nuqtaga mos keluvchi son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deyiladi: .
Berilgan funksiyaning barcha xususiy qiymatlaridan iborat ushbu
(1)
sonlar to‘plam funksiya qiymatlari to‘plami deyiladi. Agar (1) to‘plam chegaralangan bo‘lsa, funksiya to‘plamda chegaralangan deyiladi.


fazodagi ushbu

to‘plam ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi deyiladi.
Faraz qilaylik, yuqorida qaralayotgan funksiyada

bo‘lsin, bunda funksiya to‘plamda aniqlangan bo‘lib, bo‘lganda unga mos bo‘lsin. Natijada

funksiya hosil bo‘ladi. Uni murakkab funksiya deyiladi.


2⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya limiti (kаrrali limiti) ta’riflari.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin. U holda fazoda shunday :

ketma-ketlik topiladiki:
1) da ,
2) da
bo‘ladi (bunday ketma-ketliklar istalgancha bo‘ladi).
2-ta’rif (Geyne). Agar
1) da ;
2) da
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun
da
bo‘lsa, funksiyaning nuqtadagi limiti (karrali limiti) deyiladi. Uni yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar

ketma-ketliklar uchun da

bo‘lib,
,
bo‘lsa, funksiya nuqtada limitga ega bo‘lmaydi.
3-ta’rif (Koshi). Agar son olinganda ham shunday topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi da

tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi limiti (karrali limiti) deyiladi.
Bu ta’rifni qisqacha qilib quyidagicha ham aytsa bo‘ladi.
Agar

bo‘lsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi.
3⁰. Funksiya limitining mavjudligi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-teorema (Koshi). funksiya nuqtada limitga ega bo‘lishi uchun son olinganda ham shunday son topilib,

nuqtalarda

tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik, funksiya nuqtada limitga ega bo‘lsin:
.
Limit ta’rifiga ko‘ra,


bo‘ladi, Jumladan

nuqtalar uchun

bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik, son olinganda ham shunday son topiladiki,

nuqtalar uchun

tengsizlik bajariladi.
nuqtaga intiluvchi ikkita ketma-ketlik-larni olamiz: da

Bu ketma-ketliklar hadlaridan foydalanib, ushbu

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni ketma-ketlik deylik. Ravshanki, bu ketma-ketlikning ham limiti bo‘ladi: da

Limit ta’rifiga binoan yuqoridagi songa ko‘ra shunday topiladiki, da

bo‘ladi.
Teoremaning shartidan

tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, sonlar ketma-ketligi fundamental ketma-ketlik bo‘ladi. Binobarin, u yaqinlashuvchi :
da .
Unda da

bo‘lib, funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra

bo‘ladi.►