Mavzu: kompleks sonlar

2. Kompleks sonning ko’rinishlari.

1.Algebraik ko’rinishi.
(0,1) juftlikni olib, uni i bilan belgilaymiz, va bu belgini mavxum birlik deb ataymiz.
i  i = i² = - 1 bo’ladi. Haqiqatan ham
i²=(0,1)(0,1)=(0,-1)=-1
i belgisi yordamida z=(x,y) kompleks sonni algebraik shaklda z = x + i y (1)
ko’rinishda yozish mumkin. Chunki
z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy
z=x+iy bo’lsa, x – z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va x=Re z kabi belgilanadi. y – z kompleks soninig mavxum qismi deyiladi va y=Im z kabi belgilanadi. z=x+iy kompleks son berilgan bo’lsa, x-iy kompleks son uni qo’shmasi deyildadi va orqali belgilanadi:

Quyidagi tengliklar o’rinlidir:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Eslatma: n ta z₁,z₂,...,z_n kompleks sonlarning yig’indisi hamda ko’paytmasi yuqoridagidek kirtiladi va ular uchun mos xossalar hamda tengliklar o’rinli bo’ladi. Jumladan,


bo’ladi.
2.Trigonmetrik ko’rinishi. Ixtiyoriy
z = x + i y (1)
kompleks sonni olaylik. Tekislikda, koordinatalari x va y bo’lgan M(x,y) nuqtani qaraymiz.

Ma’lumki, shu M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Bu radius-vektorning uzunligi r, uning Ox o’qi bilan tashkil etgan burchagi bo’lsin.
Chizmada tasvirlangan OMB to’g’ri burchagi uch burchakdan topamiz:

Unda (1) ko’rinishdagi kompleks son quyidagicha
(2)
ifodalanadi.
Odatda kompleks sonning bu ifodasi uning trigonometrik ko’rinishi deyiladi. Bunda r musbat son z kompleks sonning moduli deyilib, |z| kabi belgilanadi: r=|z|, burchak esa z kompleks sonning argumenti deyilib, argz kabi belgilanadi:. =argz YAna OMB dan, Pifagor teoremasiga ko’ra
(3)
hamda
, ya’ni (4)
bo’lishini topamiz.
Demak, z = x + iy kompleks sonning moduli (3) formula, argumenti esa (4) formula yordamida topiladi.