Mavzu: Kinetik energiyaning umumlashgan koordinatalardagi ifodasi; Lagranj funksiyasi

Umumlashgan koordinatalar va kuchlar.

k-ta golonom bog’lanishli material sistemaning vaziyati s=3n-k ta bir biriga bog’liq bo’lmagan dekart koordinatalari bilan aniqlanadi. Lekin dekart koordinatalardan foydalanish ayrim xollarda katta xisoblashlarga olib keladi, shuning uchun material sistemaning vaziyatini aniqlashda boshqa bir-biriga bog’liq bo’lmagan parametrlardan foydalanish mumkin. Bu parametrlar turli o’lchovli bo’lishlari mumkin : -burchaklar , yoylar uzunliklari , yuzalar va hakozo.

Barcha 3n dekart koordinatalarni parametrlar orqali ifodalash mumkin:



(4)

bu funksiyalar bog’lanish tenglamasini ayniyatga aylantiradilar. Shunday qilib , material sistemani bog’lanish bilan birgalikda istalgan vaziyatini (4) yordamida , parametrlar ayrim qiymatlarida yagona (bir qiymatli) aniqlash mumkin bo’ladi. Bu o’zaro bir-biriga bog’liq bo’l;magan (s-erkinlik darajasining soni) parametrlar umumlashgan koordinatalar deyiladi. (4) tenglamalar vektorli ko’rinishi quyidagidan iborat:

(5)

Agar bog’lanishlar stasionar bo’lsa , (4) lar quyidagicha yoziladi:

(6)

ya'ni vaqt t oshkor ravishda tenglamalar tarkibida kirmagan. Bu xolda material sistema nuqtalarining radius vektorlari faqat umumlashgan koordinatalari funksiyalari bo’ladi:

(7)

Misol . Uzunligi l bo’lgan sferik tebrangichni vaziyatini ikki burchak yordamida aniqlash mumkin . Bu holda (6) tenglamalar quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

Malum t vaqt uchun , (4) funksiyalar differensiallari quyidagicha bo’ladi.

Malum t vaqt uchun (4) tenglamalarni sirt tenglamasiga qo’ygandan keyin xosil bo’lgan ayniyatlar

Differensiallarini topamiz.

Xosil bo'lgan tenglamalar 2-mavzudagi (17) tenglamalarga o'xshash va mos . Demak differensiallar koordinatalar variatsiyalari larga mos keladi. Shuning uchun, stasionar va stasionarmas bog’lanishlar uchun koordinatalar variatsiyalari quyidagi fo’rmulalar yordamida xisoblanadi:

Bu yerdagi umumlashgan koordinatalarninmg variatsiyalari deyiladi.

(5) va (8) ifodalar asosida virtual ko’chishlar uchun yozamiz.

(9)

(9) chi ifoda asosida virtual ish uchun quyidagini hosil qilamiz:

(10) chi ko’rinishli summalar umumlashgan kuchlar deb ataladi. Xar bir –umumlashgan koordinatalarga o’zining Q- umumlashgan kuchi mos keladi.

Demak

(11)

Misol. P og’irlikdagi bir jinsli OA sterjen unga perpendikulyar bo’lgan gorizantal OZ o’qi atrofida ishqalanishsiz aylana oladi. A uchiga uzunligi OA=l prujina maxkamlangan. Prujinaning O1 maxkamlangan nuqtasi virtual bo’ylab O nuqtadan OO1=OA=r masofada mavjud. Erkin holatdagi prujina uzunligi l ga teng. Umumlashgan kuch topilsin.

Echish. -umumlashgan koordinata bo’lsin. [ yordamchi ifodalar ]



va -sterjen og’irlik markazi koordinatasi.

Prujina tomonidan sterjenning A uchiga tasir etayotgan kuch va quyidagilar aniqlangan:

kuchningf koordinata o’qlariga proyeksiyalari quyiodagilardir:

Shuning uchun umumlashgan kuch Q quyidagiga teng bo'ladi:

Misol. Sferik tebrangich uchun umumlashgan kuchlar topilsin.

Bu holda n=1, s=2; umumlashgan koordinatalar sifatida qabul qilinadi.

Yechish . umumlashgan kuchlar quyidagi formula yordamida aniqlanadi; x,y,z-kuchlar proyeksiyalari.

Umumlashgan

va koordinatalar orqali M nuqta vaziyati aniqlanadi.

Demak

shu natijalarni o'zini shu ifodasi yordamida xosil qilish mumkin:

lekin,

Harakati vaqtida jismning bitta nuqtasi doimo qo’zg’almay qoladigan harakatga qo’zg’almas nuqta atrofida aylanma harakat yoki sferik harakat deyiladi.

Tayanch tekisligidagi nuqtasi qo’zg’almas bo’lgan pildiroqning harakati yoki birgina sferik sharnirli bog’lanish qo’yilgan jismning harakati sferik harakatga misol bo’la oladi. Sferik harakatni o’rganish uchun OXYZ koordinata sistemasi jism bilan birga harakatlanadi. O qo’zg’aluvchi koordinata sistemasi va OXYZ qo’zg’almas koordinata sistemasini o’tkazamiz (1-shakl).

Jism bilan birga harakatlanuvchi O tekislikning qo’zg’almas OXY tekislik bilan kesishish chizig’idan iborat ON - tugunlar chizigi deyiladi.

1-shakl
O va ON orasidagi burchak -pretsessiya burchagi, OX va ON orasidagi burchak -sof aylanish burchagi, OZ va O orasidagi burchak -nutatsiya burchagi deyiladi. , , burchaklarning musbat yo’nalishlari mos ravishda OZ, O va ON o’qlar uchlaridan qaraganda bu burchaklarning o’zgarishi soat mili aylanishiga teskari ko’rinadigan qilib olinadi. , , – Eyler burchaklari deyiladi.