Mavzu: Karrali integrallar

2⁰. Ikki karrali integralning mavjudligi. Endi ikki karrali integralning mavjud bo’lishining zarur va etarli shartini (kriteriysini) keltiramiz.
1-teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari
(5)
tengsizlikni qanoatlantirilishi zarur va etarli.
Zarurligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra

bo’ladi, bunda
,
olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashiga nisbatan Darbu yig’indilari uchun (17.7) munosabatlarga ko’ra
,
bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.
Etarliligi. olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

bo’lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralangani uchun, uning quyi hamda yuqori integrallari
,
mavjud va

bo’ladi. Ravshanki,
.
Bu munosabatdan

bo’lishini topamiz. Demak, uchun

bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini bilan belgilasak, u holda

bo’lib, teoremadagi (5) shart ushbu

ya’ni

ko’rinishlarni oladi.


3. Ikki karrali integrallarni hisoblash
funksiyaning sohadagi ikki karrali integrali tegishli integral yig’indining ma’lum ma’nodagi limiti sifatida ta’riflanadi. Bu limit tushunchasi murakkab xarakterga ega bo’lib, uni shu ta’rif bo’yicha hisoblash hatto sodda hollarda ham ancha qiyin bo’ladi.
Agar funksiyaning sohada integrallanuvchiligi ma’lum bo’lsa, unda bilamizki, integral yig’indi sohaning bo’laklash usuliga ham, har bir bo’lakda olingan nuqtalarga ham bog’liq bo’lmay, da yagona songa intiladi. Natijada funksiyaning ikki karrali integralini topish uchun birorta bo’laklashga nisbatan integral yig’indining limitini hisoblash etarli bo’ladi. Bu hol sohaning bo’laklashini hamda nuqtalarni integral yig’indini va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkonini beradi.