Mavzu: Karrali integrallar

5-misol. Ushbu

ellipsoidning hajmi topilsin.
Bu ellipsoid tekislikka nisbatan simmetrikdir. Yuqori qismini o’rab turgan sirt

bo’ladi.
Yuqoridagi (10) formulaga ko’ra ellipsoidning hajmi :

bo’ladi, bunda
.
Integralda
(11)
almashtirishni bajaramiz. Bu sistemaning yakobiani

bo’ladi. (11) sistema sohani sohaga akslantiradi. formulaga ko’ra

bo’ladi. Demak,

Shunday qilib, ellipsoidning hajmi

bo’ladi.
2⁰. Yassi shaklning yuzi. Ushbu bobning 1-§ ida sohaning yuzi quyidagi

integralga teng bo’lishini ko’rdik. Demak, ikki karrali integral yordamida yassi shaklning yuzini hisoblash mumkin ekan.
Xususan, soha

egri chiziqli trapesiyadan iborat bo’lsa ( funksiya da uzluksiz) u holda

bo’lib, ushbu formulaga kelamiz
6-misol. Ushbu


, ,
chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.
 Bu chiziqlar parabolalardan iborat (4-chizma).

4-chizma
Quyidagi



sistemani echib, parabolalarning kesishgan nuqtalari
,
ekanini topamiz. Qaralayotgan shakl o’qiga simmetrik bo’lishini e’tiborga olsak, u holda ning yuzi

bo’ladi, bunda
.
Integralni hisoblab, quyidagini topamiz:
.
Demak,
.
3⁰. Sirtning yuzi va uning karrali integral orqali ifodalanishi. Ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash mumkin. Avvalo sirtning yuzi tushunchasini keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo’lsin. Bu funksiyaning grafigi 5-chizmada tasvirlangan sirtdan iborat bo’lsin.

5-chizma
sohaning bo’laklashni olaylik. Uning bo’laklari , , bo’lsin. Bu bo’laklashning buluvchi chiziqlarini yo’naltiruvchilar sifatida qarab, ular orqali yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirtlar o’tkazamiz. Ravshanki, bu silindrik sirtlar sirtni bo’laklarga ajratadi. Har bir da ixtiyoriy nuqta olib, sirtda unga mos nuqta ( ) ni topamiz. So’ng sirtga shu nuqtada urinma tekislik o’tkazamiz. Bu urinma tekislik bilan yuqorida aytilgan silindrik sirtning kesishishidan hosil bo’lgan urinma tekislik qismini bilan, uning yuzini esa bilan belgilaymiz.
Geometriyadan ma’lumki, soha ning ortogonal proeksiyasi bo’lib,
(12)
bo’ladi, bunda sirtga ( ) nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik normalining o’qi bilan tashkil etgan burchak.
Ravshanki, da ning diametri ham nolga intiladi.
Agar da

yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, bu limit sirtning yuzi deb ataladi. Demak, sirtning yuzi
(13)
bo’ladi.
Yuqorida qaralayotgan funksiya sohada , xususiy hosilalarga ega bo’lib, bu xususiy hosilalar sohada uzluksiz bo’lsin. U holda

bo’ladi.
(12) munosabatdan

bo’lishini topamiz. Demak,
(14)
Tenglikning o’ng tomonidagi yig’indi

funksiyaning integral yig’indisidir (qarang 1-§). Bu funksiya sohada uzluksiz, demak, integrallanuvchi. Shuning uchun

bo’ladi.
Shunday qilib, (13) va (14) munosabatlardan
(15)
bo’lishi kelib chiqadi.