Mavzu: Ikkinchi tartibli parabola giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze Samarskiy tipidagi tenglamalar

1.1-teorema. Agar shartlar va tengsizlik bajarilsa, 1 - Bitsadze – Samarskiy masalasi yagona yechimga ega bo’ladi.
Izoh: Bu masala (2.53) shart o’rniga (2.26) shart olinganda ham xuddi yuqoridagidek o’rganiladi.
2 – Bitsadze – Samarskiy masalasi. Shunday funksiya topilsinki, u va sohalarda (2.1) tenglamani, tip o’zgarish chizig’ida (2.23) ulash shartini hamda (2.24), (1.2) va
(1.10)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, bu yerda , - berilgan uzluksiz funksiyalar bo’lib, kelishuv sharti bajariladi.
(1.10) Bitsadze – Samarskiy sharti bo’lib, u noma’lum funksiyaning kesmadagi chegaraviy qiymatini soxaga qarashli kesmadagi qiymati bilan bog’lamoqda. Bu masalada bo’lganda 1 – Bitsadze – Samarskiy masalasi kelib chiqadi.
Bu masala ham 1 – Bitsadze – Samarskiy masalasi kabi o’rganiladi. Bunda (2.28) formuladan kelib chiquvchi (2.29) tengliklarni va (2.27) belgilashlarni e’tiborga olib, (1.10) shartdan

tenglikni topamiz. Bu tenglikni x bo’yicha differensiallab, va funksiyalar orasidagi soxadan olingan asosiy funksional munosabatga ega bo’lamiz:
(1.11)
(1.11) tenglikni e’tiborga olib, (1.3) munosabatlarning birinchisidan
(1.12)
Differensial tenglamani topamiz. Natijada funksiyaga nisbatan {(1.6), (1.12)} nolokol masalaga ega bo’lamiz.
1.2 – teorema. Agar va shartlar bajarilsa, {(1.6), (1.12)} masala bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.
1.3-teorema. Agar va va shartlar bajarilsa, {(1.6), (1.12)} masala yagona yechimga ega bo’ladi.
Agar bo’lsa, quyidagi

tenglamaning yechimi ham sinfga tegishli bo’ladi. Topilgan funksiyani (1.11) tenglikka qo’yib, funksiyani topamiz. Natijada 2 – Bitsadze – Samarskiy masalasining yechimi soxada (2.28) formula bilan, soxada esa tenglama uchun (2.24), (1.1) va shartlar bilan qo’yilgan Bitsadze – Samarskiy masalasining yechimi sifatida topiladi.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: