Mavzu: Ikkinchi tartibli parabola giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze Samarskiy tipidagi tenglamalar

1.4 – teorema. Agar
shartlar bajarilsa, 2 – Bitsadze – Samarskiy masalasi yagona yechimga ega bo’ladi.
Izoh. 2 – Bitsadze – Samarskiy masalasini (1.10) shart o’rniga

shartini olib ham o’rganish mumkin.
Bitsadze – Samarskiy va integral shartli masalalar
(3.1) tenglamani sohada qarab, - haqiqiy son, esa haqiqiy yoki sof mavhum son deb hisoblaymiz.
1-masala. Shunday funksiya topilsinki, u va soxalarda (3.1) tenglamani tip o’zgarish chizig’ida (3.5) ulash shartini va quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
- berilgan uzluksiz funksiyalar bo’lib,
esa keltirilgan ma’lum operator.
(2.3) Bitsadze – Samarskiy sharti bo’lib, u noma’lum funksiyaning xarakteristikasidagi hosilasini operator yordamida tip o’zgarish chizig’i kesmadagi normal hosilasi bilan bog’lanmoqda, (2.2) shartda esa noma’lum funksiya integral ostida qatnashmoqda.
Masalaning bir qiymatli yechilishini tekshiramiz. Faraz qilaylik, masalaning yechimi mavjud bo’lsin. (3.8) belgilashlarni va farazlarni qabul qilaylik. U holda funksiya soxada Koshi masalasining yechimi sifatida (3.9), ya’ni



formula bilan aniqlanadi. Bu formuladan tenglik, ya’ni

tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi, bu yerda ma’lum operator. Buni e’tiborga olsak, (2.3) shartdan quyidagiga ega bo’lamiz.
(2.4)
(2.4) tenglik 1 – masalaning yechimi soxada (3.1) tenglamani va (2.3) shartni qanoatlantirishiga asoslanib olingan asosiy funksional munosabatdir. Bu yerda 2 hol bo’lishi mumkin.
1. bo’lsin. U holda (2.4) tenglik

ko’rinishni oladi. Bu – noma’lum funksiyaga nisbatan integrol – differensial tenglama bo’lib, uning shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud, yagona va bu yechim quyidagi ko’rinishda aniqlanadi:
(2.5)
Endi noma’lum funksiyani topish maqsadida (3.1) tenglamadan da limitga o’tib, ulash shartlarini va (3.8) belgilashlarni hisobga olib,

Tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikka funksiyaning (2.49) ifodasini qo’yib, funksiyani bir qiymatli topamiz. Bu yerda bo’lishi uchun va shartlar talab qilinadi. Topilgan va funksiyalarni (3.9) formulaga qo’yib, 1 – masalaning yechimini soxada topamiz.
1-masalaning yechimini soxada tenglama uchun (2.1), (2.2) va shartlar bilan qo’yilgan masalaning yechimi sifatida topiladi. Bu masalaning bir qiymatli yechilishini isbotlaymiz.
Buning uchun almashtirish qilamiz. Natijada noma’lum funksiyaga nisbatan


(2.6)
masalaga ega bo’lamiz.
Agar belgilash kiritib va ni vaqtincha ma’lum funksiya deb hisoblasak, funksiyani tenglama uchun birinchi chegaraviy masalaning yechimi sifatida

(2.7)
ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi.
(2.7) funksiyani (2.6) shartga qo’yamiz:


Endi ma’lum funksiyalarni o’n tomonga, noma’lum funksiyalarni chap tomonga o’tkazsak, funksiyaga nisbatan
(2.8)
ko’rinishidagi integral tenglamaga kelamiz, bu yerda


tenglikdan foydalanib, quyidagi hisoblashlarni bajaramiz:









Xulosa

Ushbu kurs ishida Ikkinchi tartibli parabola – giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze – Samarskiy tipidagi tenglamalar ma’lumot berilgan.

Ikkinchi tartibli parabola – giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze – Samarskiy tipidagi tenglamalar formulalar keltirilgan. Har bir formula keltirib chiqarilgan. Ikkinchi tartibli parabola – giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze – Samarskiy tipidagi tenglamalar oid barcha formula, ta’rif, teoremalar aniq tushunarli qilib yozilgan. Ikkinchi tartibli parabola – giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze – Samarskiy tipidagi tenglamalar oid misollar ishlab ko’rsatildi.
Bu kurs ishida o’rganilgan mavzuni yoritishga zarur bo’lgan tushunchalar va ma’lumotlar keltirilgan.
Kurs ishida olingan ilmiy natijalar yangi bo’lib, murakkablik darajasi ancha yuqori bo’lgan bir qancha masalalarni yechishda, oliy o’quv yurtlarida maxsus tanlov kurslari o’qitishda hamda barcha oliy o’quv yurtlarining «Matematika», «Fizika» ta’lim yo’nalishlarining o’qituvchilari va talabalari muhim qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.