Mavzu: Ikkinchi tartibli parabola giperbolik tenglamalar uchun Bitsadze Samarskiy tipidagi tenglamalar

Parabola – giperbolik tipdagi model tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
bilan tekislikning to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan chekli sohasini belgilaylik, bu yerda Yana quyidagi belgilashlarni kiritaylik:

sohada
(1)
tenglamani qaraylik. Bu tenglama soxada Fure tenglamasi
(F)
ko’rinishini olib, parobolik tipga tegishli bo’ladi. sohada esa tor tebranish tenglamasi, ya’ni Dalamber tenglamasi
(D)
ko’rinishini olib, giperbolik tipga tegishli bo’ladi. Shuning uchun (1) tenglama sohada aralash tenglama, ya’ni parobolo – giperbolik tenglama bo’lib, OB kesma uning tip o’zgarish chizig’idir. Bu tenglamaning xarakteristikalari va sohalarda mos ravishda va chiziqlardan iborat bo’lib, tenglamaning tip o’zgarish chizig’i, ya’ni OB kesma xarakteristika ham bo’ladi.

Bitsadze – Samarskiy masalalari
Bitsadze – Samarskiy (BS) masalalari. Quyidagi

tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va
(2)
(3)
(4)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi, regulyar yechim topilsin, bu yerda lar esa berilgan uzluksiz funksiyalar bo’lib, kelishuv shartlari bajariladi.
bo’lganda bu masaladan (1.1) tenglama uchun soxada qo’yilgan birinchi chegaraviy masala kelib chiqadi. Shuning uchun, bu yerda deb qaraymiz.
Faraz qilaylik, BS masalaning yechimi mavjud bo’lsin. Agar belgilash kiritsak, funksiyani (1.1) tenglama uchun soxada qo’yilgan birinchi chegaraviy masalaning yagona yechimi sifatida (1.19) ko’rinishida ya’ni


ko’rinishida yozish mumkin, bu yerda - Grin funsiyasi.
Bu formula bo’yicha funksiyani topamiz:


ning bu ifodasini (4) shartga qo’yib, belgilashni hisobga olsak, noma’lum funksiyaga nisbatan
(5)
ko’rinishdagi integral tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda


(5) – turdagi Volterra integral tenglamasi bo’lib, uning yadrosi quyidagi ko’rinishga ega:


va uchun bo’lib, bo’lganda bu yerdagi qator tekis yaqinlashadi. Qolaversa, uchun

Demak, yadro sohada uzluksiz va chegaralangan bo’lib, .
funksiyani o’rganaylik. Grin funksiyasi tuzilishiga asosan

bu yerda funksiya


ko’rinishga ega bo’lib, u soxada uzluksiz, chegaralangan va .
U holda funksiya tarkibidagi birinchi integralni


ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerdagi birinchi integralda formula yordamida almashtirish bajaramiz:

va funksiyalarning xossalariga asosan oxirgi tenglikdan degan xulosaga kelamiz.
va bo’lganligi uchun funksiya tarkibidagi ikkinchi integral ham uzluksiz funksiyadir. Yuqoridagilarni va funksiyalar uzluksizligini hisobga olsak, ekanligi kelib chiqadi.
Demak, (5) – yadrosi va o’ng tamoni uzluksiz bo’lgan ikkinchi tur Volterra integral tenglamasidir. Shuning uchun bu integral tenglama yagona uzluksiz yechimga ega.
(5) integral tenglamadan topilgan funksiyani (1.19) formulaga qo’ysak, BS masalaning yechimiga ega bo’lamiz.
Quyidagi masala yuqoridagi Bitsadze – Samarskiy masalasining umumlashmasidir:
A.M. Naxushev masalasi. (1.1) tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va (2), (3) va

shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin, bu yerda - berilgan uzluksiz funksiyalar, lar esa oraliqdan olingan turli ixtiyoriy sonlar bo’lib, ushbu tengliklar bajariladi: