Mavzu: Ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirish 5-Ma’ruza reja

Mavzu: Ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirish

5-Ma’ruza

REJA:
1⁰. Tekislikda to`plamlarni akslantirish haqida.

2⁰. Ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almash­tirish.

3⁰. Ikki karrali integralning qutb koordinatalarida ifodalanishi.
Tayanch so’z va iboralar: akslantirish, ikki karrali integral, o’zgaruvchilarni almashtirish, qutb koordinatalar.
Ikki karrali integrallarni hisoblashda ancha qiyinchi­lik­­larga duch kelinadi. Bu qiyinchiliklar:

1. 
   Integrallanuvchi funksiyalarning murakkabligi,
   
2. 
   Integrallash to`plamning murakkabligi hi­sobiga sodir bo`ladi.
   

Ba`zan o`zgaruvchilarni almashtirish natijasida integ-ral­la­nuvchi funksiya ham, integrallash to`plami ham soddaroq ko`ri­nishga (integrallash uchun qulay ko`rinishga) keladi va integralni hisoblash osonlashadi.

1⁰. Tekislikda to`plamlarni akslantirish haqida. Faraz qi­lay­lik, tekislikda dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan chegaralangan to`plam, dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan esa chegaralangan to`plam berilgan bo`lib, ularning chegaralari va lar bo`lakli–silliq yopiq chiziqlardan iborat bo`lsin. (38-chizma)

38-chizma

Aytaylik,

(1)

sistema ni ga akslantirsin. Bu akslantirish quydagi shartlarni bajarsin:

1. 
   Bu o`zaro bir qiymatli akslantirish,
   
2. 
   va funksiyalar to`plamda uzluksiz va uzluksiz barcha xususiy hosilalarga ega,
   
3. 
   Xususiy xosilalardan tuzilgan
   

funktsional determinant da ishora saqlasin va da bo`lsin.

Odatda, determinant (1) sistemaning yakobiani de­yi­ladi. Ravshanki, bunday holda (1) akslantirishga teskari

akslantirish mavjud va u ni ga bir qiymatli aks­lan-tiradi.

Tasdiq. to`plamning yuzi

bo`ladi (qaral­sin, [1] 19–bob, 3–§).

2⁰. Ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almash­tirish. [4, 11.5, Change of Variable in a Multiple Integral, p.135] funksiya to`plamda berilgan va uzluksiz bo`lsin.

Ushbu

(2)

sistema ni ga akslantirib, u 1⁰ da kelti­ril­gan 1)–3) shartlarni bajarsin.

ning biror

bo`laklanishi olaylik. Bu bo`laklash (1) akslantirish yordamida to`plamning

bo`laklashlarni hosil qiladi.

Ikki karrali integral ta`rifiga ko`ra

bo`lib,

(3)

bo`ladi.

1⁰ da keltirilgan tasdiqdan foydalanib topamiz:

.

O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan, shunday

nuqta topiladiki,

tenglik bajariladi.

Natijada funksiyaning integral yig`indisi quyi­da­gi

ko`rinishga keladi. nuqtaning ixtiyoriyligidan

,

deb olish mumkin. Unda

bo`ladi. funksiya da uzluksiz, bino-barin integrallanuvchi. Demak

(4)

bo`ladi.

(2) va (3) munosabatlardan

(5)

bo`lishi kelib chiqadi.

(5) ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almash­ti­rish formulasidir.

3⁰. Ikki karrali integralning qutb koordinatalarida ifodalanishi. YUqoridagi (1) sifatida ushbu

(7)

akslantirishni olaylik. Bu tekislikdagi qutb koordina-talari sis­temasi bo`yicha nuqtani dekart koordinata-lari sis­te­masi bo`yicha nuqtaga akslantirishni ifoda-laydi.

(7) sistemaning yakobiani

bo`ladi. tekisligidagi yuzaga ega to`plamni olaylik.

Bu ning (7) akslantirish yordamida asli (proobrazi) bo`ladi.

Agar nuqta (koordinata boshi) ga tegishli bo`lmasa, u holda ni ga akslantirish o`zaro bir qiymatli bo`lib, sistemaning yakobiani dan farqli bo`ladi.

Agar nuqta ga tegishli bo`lsa, u holda (7) akslanti-rishning o`zaro bir qiymatliligi hamda shart nol yuzali chiziqlardagina bajarilmaydi.

Demak, funksiya da uzluksiz bo`lsa u holda

(8)

formula o`rinli bo`ladi.