Mavzu: gidromexanik jarayonlar

2.Suyuqliklar muvozanat holati uchun Eylerning differentsial tenglamasi.
Ushbu tenglama suyuqlik muvozanatining differentsial tenglamasidan keltirib chiqariladi. Nisbiy tinch holatdagi suyuqlikning muvozanatini ko’rib chiqamiz. Bu holatda suyuqlikka massaviy kuchlar – og’irlik va enertsiya kuchlari, hamda sirtiy kuchlar – gidrostatik bosim kuchi ta’sir etadi. Butun suyuqlik hajmidan elementar, cheksiz kichik dv parallepiped hajmini ajratib olamiz.
Parallepipedning dx, dy, dz qirralari x, u, z o’qlarga parallel joylashgan (2.1-rasm).
O’rtacha gidrostatik bosim kuchi, gidrostatik bosimning parallelepiped tomoni yuzasi ko’paytmasiga teng. 2.1 –rasmdan ko’rinib turibdiki p=f(x,y,z). Ushbu funktsional bog’liqlik ko’rinishini aniqlaymiz. Buning uchun elementar parallelepipedga ta’sir etuvchi hamma kuchlarning x, y, z o’qlardagi proektsiyalar yig’indisini topamiz. x, y, z o’qlardagi massaviy kuchlarni massa birligiga nisbatlarini X, Y, Z deb belgilaymiz. Hajmiy kuchlarning x o’qidagi proektsiyasi dQ=Xdm bo’ladi, bu yerda dm= dx dy dz yoki dQ = X dx dy dz. Statikaning asosiy qonuniga binoan, tinch holatdagi suyuqlikka ta’sir etuvchi hamma kuchlar proektsiyalari yig’indisi nolga teng. SHuning uchun, x o’qidagi kuchlar proektsiyasi
(2.1)
bu yerda pdxdz – chap tomonga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchi; dp/dx-x o’qi biror nuqtasidagi gidrostatik bosimning o’zgarishi; (dp/dx)dx-dx qirra bo’ylab gidrostatik bosimning o’zgarishi.
qarama-qarshi, o’ng tomonga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim p + (dp/dx)dx ga teng va uning x o’qiga proektsiyasi:

(2.1) tenglamada qavsni ochib, tegishli qisqartirishlarni amalga oshirsak, quyidagi ko’rinishdagi tenglamani olamiz:


Xuddi shunday usul bilan y va z o’qlari uchun muvozanat tenglamalarini keltirib chiqaramiz:



Olingan tenglamalarni sistemalashtirsak:

(2.2)

Ushbu tenglamalar sistemasi Eylerning muvozanat holatining differentsial tenglamasi deb ataladi.

3.Suyuqliklar harakati uchun Eylerning differetsial tenglamasi
Oqimning istalgan nuqtasida suyuqlik harakatining tezligi va bosim orasidagi bog’liqlikni L. Eylerning harakat tenglamasi yordamida ifodalash mumkin.
Ushbu tenglamani keltirib chiqarish uchun turg’un harakat qilayotgan ideal suyuqlik oqimidan dV=dxdydz hajmli elementar parallelepiped ajratib olamiz (2.1-rasm).
Parallelepipedga ta’sir etuvchi og’irlik va bosim kuchlarining koordinat o’qlaridagi proektsiyalari quyidagicha bo’ladi: