Mavzu: funksiya monotonligi va exirstreminlari

2⁰. Funksiyaning ekstremumlari. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, bo’lsin.
1-ta’rif. Agar shunday son topilsaki, nuqtalarda

tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi deyiladi, nuqtaga esa funksiya-ning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
2-ta’rif. Agar shunday son topilsaki, nuqtalarda

tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) erishadi deyiladi,
Funksiyaning maksimum hamda minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumlari, maksimum hamda minimum nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi.
5-teorema. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqtada ekstremumga erishsin.
Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi.
◄Aytaylik, funksiya nuqtada maksimumga erishib, shu nuqtada hosilaga ega bo’lsin. U holda
da
bo’ladi.
intervalda funksiyaga Ferma teoremasini qo’llab topamiz:
.►
3-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqta uning stansionar (kritik) nuqtasi deyiladi.
Eslatma. Agar funksiya biror nuqtada ekstre-mumga erishsa, u shu nuqtada hosilaga ega bo’lishi shart emas.
Masalan, funksiya nuqtada minimumga erishadi, biroq u shu nuqtada hosilaga ega emas.
Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari uning statsionar hamda hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtalari bo’lishi mumkin.
4-ta’rif. Agar shunday son topilsaki,

bo’lsa, funksiya nuqtaning chap tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
Agar shunday son topilsaki,

bo’lsa, funksiya nuqtaning o’ng tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
6-teorema. Aytaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1) hosila mavjud;
2) ;
3) hosila nuqtaning o’ng va chap tomonlarida ishora saqlasin.
Agar hosila nuqtani o’tishda ishorasini o’zgartirsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi.