Mavzu: funksiya monotonligi va exirstreminlari

5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror x<sub>o</sub> nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(x<sub>o</sub>)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x<sub>o</sub> nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar x<sub>o</sub> bo`lsa,


(3)
Agar x>x_o bo`lsa,
(4)

tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x_o) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(x<sub>o</sub>)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.

Funksiyaning monotonligi. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bo’lsin.
Ma’lumki,
, uchun bo’lsa, funksiya da o’suvchi (qat’iy o’suvchi), uchun bo’lsa, funksiya da kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.