Mavzu: funksiya monotonligi va exirstreminlari

1-teorema. Aytaylik, funksiya da berilgan bo’lib, da hosilaga ega bo’lsin.
funksiyaning da o’suvchi bo’lishi uchun da

bo’lishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. funksiya da o’suvchi bo’lsin. Unda bo’lganda

bo’ladi. Hosila ta’rifidan foydalnib topamiz:
.
Etarliligi. Aytaylik, da mavjud bo’lib, bo’lsin. da funksiyaga Lagranj teoremasini qo’llab topamiz:

Demak, o’suvchi. ►
Xuddi shunga o’xshash, quyidagi teorema isbotlanadi.
2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bo’lib, da hosilaga ega bo’lsin. funksiya da kamayuvchi bo’lishi uchun da

bo’lishi zarur va yetarli.
SHuningdek quyidagi teoremalarni isbotlash qiyin emas.
3-teorema. funksiya da berilgan bo’lib, da hosilaga ega bo’lsin. funksiyaning da qat’iy o’suvchi bo’lishi uchun
1) da .
2) da tenglik bajariladigan intervalning mavjud bo’lmaslik shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.
4-teorema. funksiya da berilgan bo’lib, da hosilaga ega bo’lsin. funksiyaning da qat’iy kamayuvchi bo’lishi uchun
1) da ,
2) da
tenglik bajariladigan intervalning mavjud bo’lmasligi shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.
Demak, da
o’suvchi
kamayuvchi
qat’iy o’suvchi
qat’iy kamayuvchi
bo’ladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning o’suvchi, kamayuvchi bo’lish oraliqlari topilsin.
◄Ravshanki,

bo’ladi.
Ushbu tengsizlik da o’rinli bo’ladi. Demak, funksiya da o’suvchi, da kamayuvchi bo’ladi. ►