Mavzu: Funksiya limiti Reja

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi.      x=x₀+Dx,   Dx=x-x₀,    Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀),    Dy=f(x)-f(x₀)

Dy= (f(x₀+Dx)-f(x₀))= (f(x₀+x-х₀)-f(x₀))= (f(x)-f(x₀))=0 Misоllar

1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.

y+Dy=2(x+Dx)+1,  ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx

Dy= 2Dx =0

2) y=x³

y+Dy=(x+Dx)³      

Dy=x³+3x²Dx+3x(Dx)²+Dx³                Dy=x³+3x²Dx+3xDx²+Dx³-x³

Dy=Dx(3x²+3xDx+Dx²)        

Dy=  (3x²+3xDx+Dx²)Dx=0.

3) f(x)=cosx funksiyaning "x₀ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.

Yechish. "x₀ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x₀+Dx)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -p<Dx<p  bo`lganda

|Dy| = |cos(x₀+Dx) - cosx₀|=

munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.

Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:

1)               chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz bo`ladi;

2) f(x₀-0), f(x₀+0) lar mavjud, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x₀ nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;

3) f(x₀-0), f(x₀+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x₀ nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;

4) f(x₀-0)=f(x₀+0)¹f(x₀) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.

Yechish. Demak,  [x]=1,   =2

Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.