Mavzu: Funksiya limiti Reja

Misоl. y=2x+1     funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin

Yechish.  (2x+1)=5;   f(2)=5

Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.                          

1-ta’rif (Koshi ta’rifi). "e  >  0 son uchun shunday d = d(e)>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x₀|<d tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-f(x₀)|<e tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi,   f(x)=f(x₀).

1-misol. Ushbu f(x)=  funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.

Yechish. "e  > 0 son olib, bu e songa ko`ra d >0 soni d  =  4e bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|<d  bo`lganda

bu esa qurilayotgan funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.

2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x₀ ga intiluvchi har qanday {x_n} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(x_n)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x₀) ga intilsa, f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Agar   munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu  munosabat ham o`rinli bo`ladi.

Odatda x-x₀ ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x₀) esa funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda Dx va Dy (Df(x₀)) kabi belgilanadi, ya’ni: Dx=x-x₀, Dy=Df(x₀)=f(x)-f(x₀).

Demak, x=x₀+Dx, Dy=f(x₀+Dx)-f(x) natijada,   munosabat   ko`rinishga ega bo’ladi.

Shunday qilib, f(x) funksiyaning x₀ nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.