y" (x) + q (x) p ( y (x)) = f Bu yerda q(x), oʻzgaruvchan uzluksiz musbat funksiyalar, bundan tashqari ortib bormoqda. Ish ko'rib chiqilayotgan tenglamaning ijobiy yechimlarining mavjudligi va asimptotik harakati masalasini o'rganishga bag'ishlangan.A, V, Kostin, V, M, Yevtuxov ham (3) tenglamaning umumiy shaklini ko'rib chiqdilar:
y" = P(x)W\ X U uchun , bu yerda p(x) funksiya uzluksiz. V. M. Yevtuxov A = 1 va k + A = 1 uchun tenglamaning yechimlari uchun asimptotik formulalarni o'rnatdilar. p(x) funksiyaning silliqligi olib tashlanadi, mahalliy yig'indisi deb taxmin qilinadi .
V. M. Yevtuxov, p (x) < 0 va k > -1, A < 1 uchun, A = 0 uchun klassik natijalarni to'ldirib, barcha to'g'ri echimlarning tebranishi uchun etarli shart-sharoitlarni o'rnatdi. V.M.Yevtuxov ham ko'rib chiqdi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning ma'lum sinflari , ularning o'ng qismlarida Emden-Fauler tipidagi tenglamalarning nochiziqliliklariga qaraganda umumiyroq shakldagi chiziqli bo'lmaganlik mavjud bo’lishi mumkin.
Yuqori tartibli Emden Fauler tipidagi tenglamaga qaytaylik. I.T.Kiguradze va T.A.Chanturiya tadqiqotlarining davomi sifatida, I.V.Astashova (monografiyada sharhga qarang) tenglama uchun ishlarida. (1) o'zgaruvchan yechimlar mavjudligi isbotlangan, vertikal asimptotali, quvvat asimptotikasiga ega bo'lgan yechimlar, juft tartibli tenglamalar uchun esa kuch asimptotikasiga ega bo'lgan Kneser yechimlari; uchinchi va toʻrtinchi tartibli tenglamalar uchun I.T. Kiguradzening taxmini vertikal asimptotaga ega boʻlgan barcha yechimlar asimptotikaning kuch qonuniga ega ekanligi tasdiqlandi; to'rtinchi tartibli tenglamalar uchun barcha Kneser yechimlari kuch qonuni asimptotikasiga ega; uchinchi tartibli tenglama uchun asimptotalar pozitsiyasining yechimlarning boshlang'ich shartlariga uzluksiz bog'liqligi, shuningdek, berilgan ta'rif sohasiga ega bo'lgan maksimal kengaytirilgan yechimlarning mavjudligi isbotlangan; uchinchi tartibli tenglama uchun yechimlarning bir xil baholari olinadi. U- tartibli kvaziliziqli tenglamalar uchun (u > 2) umumiy taʼrif sohasiga ega boʻlgan, tenglamalar koeffitsientlarini baholashga bogʻliq boʻlgan va koeffitsientlarning oʻziga bogʻliq boʻlmagan musbat yechimlarning yagona baholari mavjudligi isbotlangan. Barcha eritmalarning tebranish xususiyatining mezoni olinadi; Ikkinchi tartibli kvaziziiqli tenglamalarning barcha kengaytirilmaydigan yechimlarining asimptotik harakati tasvirlangan.
Xulosa Xulosa qilib aytganda ikkinchi tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglamalar yechimlarining mustaqil va barcha fazali o‘zgaruvchilarga bog‘liq potentsial bo‘yicha turli sharoitlarda asimptotik harakati o‘rganilgan.
Muntazam nochiziqlilik holatida, noldan ajratilgan chegaralangan manfiy potensialga ega ikkinchi tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglamaning barcha maksimal kengaytirilgan yechimlarining to'liq asimptotik tasnifi olinadi. Xususan, barcha notrivial yechimlar yarim chiziqda yoki chekli oraliqda aniqlanganligi va aniqlanish sohasi chegaralariga yaqin asimptotik kuch qonuniga ega ekanligi isbotlangan. Bunda aniqlanish sohasining chekli chegarasidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq yechimning vertikal asimptoti boʻlib, abadiylikda barcha yechimlar hosila bilan birga nolga moyil boʻladi. Vertikal asimptotagacha bo'lgan masofaning taxminlari olinadi; vertikal asimptota pozitsiyasining dastlabki shartlarga uzluksiz bog'liqligi ko'rsatilgan.
Yagona chiziqli bo'lmagan taqdirda, ikkinchi tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglamalar yechimlari nafaqat chegaralar yaqinida, balki aniqlanish sohasining ichki nuqtasida ham alohida harakatga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun q-yechimlar ko'rib chiqiladi. q-yechimlar nuqtai nazaridan, manfiy potentsial chegaralangan va noldan ajratilgan ikkinchi tartibli Emden tipidagi Fauler tenglamasi yechimlarining to'liq asimptotik tasnifi: xususan, barcha d-yechimlar yo aniqlanganligi isbotlangan. butun real chiziq yoki yarim chiziq bo'yicha va ta'rif sohasi chegaralariga yaqin asimptotik kuch qonuniga ega. Aniqlanishicha, barcha d-yechimlar yo to'liq bitta nolga yoki aynan bitta ekstremumga ega bo'ladi yoki kuch asimptotikasi bilan ta'rif sohasining oxirgi chegara nuqtasida hosilasi bilan birga nolga moyil bo'ladi; nolgacha bo'lgan masofani, ekstremum nuqtasini va aniqlanish sohasining chegara nuqtasini baholashlari olinadi; nol pozitsiyasining, ekstremum nuqtasining, aniqlanish sohasining chegara nuqtasining dastlabki shartlarga uzluksiz bog'liqligi ko'rsatilgan.
Emden tipidagi tenglama yechimlari uchun muntazam va singulyar nochiziqlilik holatlarida va noldan ajratilgan musbat potentsialga ega bo'lgan ikkinchi tartibli Fauler , tenglamaning barcha maksimal kengaytirilgan yechimlari va ularning birinchi hosilalari tebranuvchi bo'lib, echimlarning nollari va ularning birinchi hosilalari almashinishi aniqlandi. Yetarli shartlar o'rganiladi, ular ostida yechimlar butun son chizig'ida aniqlanadi, ularning asimptotik xatti-harakati ushbu etarli shartlar bajarilgan yoki bajarilmagan taqdirda o'rganiladi. Uzluksiz musbat potentsiallarga misollar tuziladi, ular uchun x mos ravishda rezonansli asimptotaga ega bo'lgan yechim mavjud, butun haqiqiy chiziqda aniqlangan chegaralanmagan yechim va butun haqiqiy chiziqda aniqlangan notrivial tebranuvchi yechim mavjud. Birinchi hosilasi bilan birga cheksizlikda nolga moyildir.
