Mavzu: Emden-Fauler tenglamalari asimptotikalari: finit, davom ettiriluvchi, davom ettirilmaydigan yechimlar. Reja

2-teorema: da bo’lsin. Keyin bo’lganda (1) tenglamaning maxsus (finit) yechimi
dan aniqlangan asimptotik ko’rinishga ega bo’ladi:
,
bu yerda c > 0 doimiy, .
Isbot: Xardi ko’rinishidagi VKB – yechim bu holda quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

funksiyaning nuqtaning chap atrofida (1) tenglmaning maxsus (finit) yechim asimptotikasi mavjudligini ko’rsatamiz.

1. 
   Tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishda qidiramiz:
   

.
So’ng ni (1) tenglamaga qo’yib, uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

- bo’lganda aniqlangan funksiya. Shuning uchun biz oxirgi tenglama uchun 5-lemmani qabul qilishimiz mumkin. _{da ga ega bo’lamiz, bu 2-teoremaning to’g’riligini isbotlaydi.}
Xuddi shunday, agar g(x) dan kattaroq silliqlik talab qilinsa, misol uchun , bo’lganda (1) tenglamaning maxsus (finit) yechimi asimptotikaga ega bo’lishi isbotlanadi:
tenglamaning yechimidan nuqta aniqlanadi.
Bundan, b = 1, bo’lganda,

chiziqli xol uchun yuqoridagi VKB – yechimga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, (1) tenglamaning m = 0 dagi taqribiy xususiy yechimidan uning umumiy xossalarini qamrab olgan VKB-yechimga o’tadi. Ya’ni, etarlicha keng sinf g(x) uchun da tenglamaning haqiqiy yechimi uning WKB yechimlariga to'g'ri keladi.
Endi (1) tenglamaning WKB yechimlari ko'rinishidagi asimptotikalarini o'rganamiz:
(4)
bu yerda ,
.
(4) tenglama yechimi asimptotikasining Xardi forma VKB – yechimi ko’rinishi [3,4,6] dan olingan.
(4) tenglama yechimining asimptotikasini o'rnatishga kirishishdan oldin, differensial tenglamalar sistemasini ko’ramiz:
(5)
Ushbu funksiyalarda
,
, uzluksiz funksiya esa quyidagi sohada uzluksiz:

Yana bir taxminga ko’ra, (i = l,2) funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi:

Bu yerda, va D sohaga tegishli ixtiyoriy nuqtalar, .
Emden-Fauler tenglamasi va uni umumlashtirishga juda ko'p ishlar bag'ishlangan bo'lib, ularning asosiy maqsadi yechimlarning sifat xususiyatlarini o'rganish va ularning asimptotik harakatlarini o'rganishdir. a, k parametrlarining turli qiymatlari uchun (2) tenglama yechimlarining uzluksizligi yoki davom etmasligi, tebranish harakati, asimptotik harakati masalalari R.Wellman, J.Saneon, F.Hartman monografiyalarida batafsil tavsiflangan. Differensial tenglamalarning sifat nazariyasidagi muhim masala tebranish yechimlari masalasidir. Tebranish nazariyasining fundamental tadqiqotlari A.Kneser, F.Atkinson, Kurtsveyl,
Z.Nexari, JSW, Van, P.Uoltman va boshqalarning tadqiqotlaridir.
Tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglama yechimlarining sifat va asimptotik xossalari keltirilgan.
T. Kiguradze - biz ikkinchi tartibli Emden Fauler tipidagi tenglamaning barcha maksimal kengaytirilgan yechimlarining asimptotik tasnifini olamiz.
Xususan, T. Kiguradze uzluksiz manfiy funksiya p(x) uchun har qanday oldindan tayinlangan vertikal asimptotaga ega yechim mavjudligini va vertikal asimptotaga ega barcha yechimlar quvvat asimptotikasiga ega ekanligini isbotladi.
A. Kondratiyev va Nikishkin, Mualliflar muntazam nochiziqli k > 1 va p (x) < 0 bo'lgan taqdirda tenglamaning musbat yechimlarining to'liq asimptotik tasnifini oldilar. p(x) funksiyasi qabul qilinadi. analitik bo'lish, bu mualliflarga asimptotikaning ixtiyoriy soniga ega tasnifni olish imkonini beradi;
M, Naito (3) tenglamaning integral koeffitsienti p(x) > 0 bo'lgan yechimlarning asimptotik harakatini o'rgangan. cheksizlikda.Bu ishda juft tartibli (1) n - tenglama uchun uzluksiz musbat p = p(x funksiyasi) oraliqda berilgan sonli nolga ega yechimlar mavjudligi haqidagi masala o rganiladi. ) ko'rib chiqilayotgan interval bo'yicha.
T, Kusano, M, Naito, J, Manojlovie muntazam oʻzgaruvchanlik nuqtai nazaridan k > 1 boʻlganda va p(x) uzluksiz integrallanuvchi musbat funksiya degan faraz boʻlsa, (3) tenglama yechimlari mavjudligi uchun yetarli shart-sharoit olinadi.. Muntazam oʻzgaruvchanlik nazariyasini qoʻllash imkon beradi. Muntazam o'zgarishlarga ega bo'lgan eritmalarning aniq asimptotik harakatini aniqlash uchun mualliflar, T.Kusano, J.Manojlovie (3) tenglamaning quyidagi umumlashtirilishi hisobga olinadi: