Mavzu: Emden-Fauler tenglamalari asimptotikalari: finit, davom ettiriluvchi, davom ettirilmaydigan yechimlar. Reja

2-lemma: Agar funksiya (k=1,2,3) (0,+∞) oraliqdagi har bir chekli kesmada integrallanuvchi va , bo’lsa u holda (3) tenglama ning ixtiyoriy tebranmaydigan yechimi da, ga intiladi.
2-lemmadan quyidagi xulosa kelib chiqadi.
1-xulosa. Agar , bo’lsa u holda (3) tenglamaning (m = 0) dagi to’g’ri yechimi ushbu asimptotikaga ega bo’ladi.

[2,5] да берилган усуллардан фойдаланиб, давом ettiriluvchi ва davom ettirilmaydigan ечимлар асимптотикасини ВКБ-ечим кўринишида олиш мумкин:

.
Бу ерда, алоҳида, a = 1, n→1 bo’lsa quyidagiga эга бўламиз:

яъни, чизиқли холдаги ВКБ ечим [7].
g(x), p(x) bo‘yicha ma’lum shartlarda Hardi ko‘rinishidagi ВКБ yechim tenglamaning davom ettiriluvchi yechimlarining asimptotikasi bo‘lishini isbotlaylik.(1.12)
1-teorema:
da va da
shartlar bajarilsin.
U holda, (1) tenglamaning (m=0) dagi davom ettiriluvchi yechimi bo’lsa, quyidagi asimptotikaga ega bo’ladi:

Isbot: (1) tenglama yechimini quyidagi ko’rinishda qidiramiz:
(4)
Bu yerda,

u holda (1) (3) tenglama bilan quyidagi ko’rinishiniga ega bo’ladi:
, .
1-teorema shartlariga ko’ra, 2-lemmaning barcha shartlari va bo’lsa,
bo’lishi o’rinli.
(4) asosida biz 1-teoremaning to’g’riligiga ishonch hosil qilamiz.
(1) tenglama yechimlarining 03-lemma:
(3) tenglama uchun quyidagi shartlar bajarilsin: [0,+∞) oraliqning har bir oxirgi nuqtasida mutlaqo uzluksiz;
bo’lsa,
bu erda,
, , , va
Agar qo'shimcha ravishda

tenglamada (agar u holda , agar u holda )
tebranish yechimlari bo'lmasa , (3) tenglamaning har qanday to'g'ri, tebranmaydigan yechimlari ω(τ) uchun bizda
yoki bo'ladi,
bu erda tenglamaning oxirgi ixtiyoriy yechimi.
4 - lemma:
(3) tenglama koeffitsientlari uchun 3-lemma va , , shartlari bajarilsin. Keyin (3) ning ihtiyoriy to'g'ri tebranishsiz yechimi uchun
ga
ega bo’lamiz.
bo’lsa, (1) tenglama yechimining asimptotikasi uchun VKB yechim quyidagi ko’rinishga ega bo’lib:
,
bu yerda bo’lsa,

chiziqli holatda [7] ma’lum bo‘lgan VKB yechimga o‘tadi.