Mavzu: Elliptik egri chiziq gruppasida nuqtalarni hisoblash Reja: Elliptik kriptografiyaning

Aniqlangan maydonda elliptik egri chiziq

Bu yerda - F_p maydonda aniqlangan elliptik egri chiziq, p – tub son.
Aniqlangan maydonda nuqtalarni qo‘shish va ikkilantirish:

Nuqtalarni qo‘shish	Nuqtalarni ikkilantirish

Elliptik egri chiziq nuqtalari gruppasi asosida yaratilgan nosimmetrik shifrlarning umumiy funksional modeli

EECh nuqtalari ustida amallar bajarish masalalari yechimlari murakkabliklariga asoslangan nosimmetrik algoritmlarni yaratishda

i
kriptotizimning har bir i - foydalanuvchisining shaxsiy kalitini ifodalovchi k ^м -son

bo‘yicha hisoblanadigan
[k ^м ]G  Q  (x^o , y^o ) - ochiq kalit generasiya qilinadi, bu

i i i i
yerda G -tanlab olingan elliptik egri chiziqqa tegishli barchaga ma’lum bo‘lgan

hosil qiluvchi (generator) nuqta. Bu yerda
G  (x , y ) va Q  (x^o , y^o ) - nuqtalarni

G G i i i



i
bilgan holda k ^м -shaxsiy kalitni aniqlash o‘zining rasional yechimiga ega emas.

Kriptotizimning j-foydalanuvchisi M - ochiq ma’lumotni shifrlab, C - shifrlangan ma’lumotni i-foydalanuvchiga jo‘natishi uchun, i-

foydalanuvchining barchaga ma’lum bo‘lgan ochiq kaliti
Q  (x^o , y^o )
dan

i i i

foydalanadi, ya’ni
^E o o
(M )  C
shifrmatnni i-foydalanuvchiga ochiq aloqa

( x_i , y_i )

tarmog‘i orqali yuboradi. Bu

E _o (M )  C (yoki


E _o (M )  C yoki


^E o o

(M )  C ) -

x_i x_i ( x_i , y_i )
shifrma’lumotni qabul qilib olgan i –foydalanuvchi, faqat uning o‘ziga ma’lum

bo‘lgan o‘zining shaxsiy kaliti
k ^м - bilan deshifrlaydi, ya’ni
D _м (C)  М -ochiq

k
i

i
ma’lumotga ega bo‘ladi. Shifrlash qoidasini aniqlovchi akslantirish E _{o o} (M )  C
( x_i , y_i )

bir tomonlamalik xususiyatiga ega bo‘lishi kerak, ya’ni E - akslantirish,

Q  (x^o , y^o ) ochiq kalit va C - shifrmatnni bilgan holda M - ochiq ma’lumotni
i i i
aniqlash imkoniyati yo‘q bo‘lishi kerak.

Quyida tanlangan elliptik egri chiziqning rasional nuqtalari ustida amallar bajarish masalasining murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlash algoritmini yaratish masalasini yechishga to‘xtalib o‘tiladi.

Mazkur usul bo‘yicha ushbu nuqta
^Rmn ^{ R}il
 [х_il ]G
koordinatalari, tanlab

olingan elliptik egri chiziqqa tegishli bo‘lgan G -rasional koordinatali yetarli katta tartibga ega bo‘lgan va barcha foydalanuvchilarga ma’lum generator nuqta orqali

hisoblanadi, bu yerda
x_il -noma’lumlar. So‘ngra A_nm ; R_mn 

• 
  juftlik ochiq kalit deb
  

e’lon qilinadi, x_il -noma’lumlar esa shaxsiy kalit sifatida olinadi.

Kriptotizimning j -foydalanuvchisidan t - foydalanuvchiga M–ochiq ma’lumotni shifrlab jo‘natish quyidagicha amalga oshiriladi:

1. 
   Faqat j -foydalanuvchining o‘zigagina ma’lum bo‘lgan biror
   

k - sonini tasodifiy holda tanlab, elliptik egri chiziqda

R  [k]R^t  [k][x^t ]G  [kx^t ]G
=(x^t (G), y^t (G)) -nuqtalar topiladi va bu nuqtalarning

mn il il
il il

Ox o‘qidagi
x^t (G) -koordinatalari (yoki Oy o‘qidagi
^yil
(G) -koordinatalari)

il
R^t  x^t (G)
(yoki
R^t  y^t (G)
yoki
R^t  f (x^t (G), y^t (G)) ) deb qabul qilinadi.

il il
il il
il il il

Shifrlashni



A
t nm
^{® M}nm



= A
t nm

• 
  ^Mnm
  

• 
  A
  

t nm



R

M
t nm
nm
mod p= w_nm
ko‘rinishda

amalga oshirib, shifrma’lumot sifatida С_nm  (w_nm ; d  [k]G) -juftlik jo‘natiladi.

Shifrma’lumot С_nm  (w_nm ; d  [k]G) ni qabul qilib olgan

t -foydalanuvchi tomonidan deshifrlash quyidagicha amalga oshiriladi:

2. 
   
   il
   Faqat t - foydalanuvchining o‘ziga ma’lum bo‘lgan x^t - maxfiy kalit
   

elementlaridan foydalanib [x^t ]d  [x^t ][k]G  [x^t k]G  D^t - matrisa hisoblab olinadi.

il il
il mn

3. 
   Ochiq
   

A

• 
  A
  

t nm

• 
  kalitga teskari bo‘lgan matrisa
  

( A
t nm
)^\1 =(I
nn


t nm



D
t mn
)^1(A^t
) mod p
hisoblanadi.

4. 
   
   nm
   Ushbu
   

R  D
t nm
qiymatni almashtirish amalini bajarib, deshifrlash

jarayoni 5.6.2-banddagi kabi amalga oshiriladi.