Mavzu: elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari, masalalari va teoremalari

5. Beltrami - Mitchell tenglamalari
Bundan oldingi paragraflarda elastik jismning muvozanat tenglamalarini Lame tenglamalariga keltirdik va ularning yechimini Papkovich-Neyber ko‘rinishida tasvirladik, boshqacha aytganda ularning umumiy yechimlarini keltirdik. Bu tenglamalar uchun elastiklik nazariyasi asosiy masalalaridan ikkinchi turini yechish osonligini ta’kidladik. Chunki bu holda asosiy tenglamalar ham, chegaraviy shartlar ham faqat ko‘chishlarga nisbatan yoziladi, ya’ni ikkinchi tur asosiy masalani yechishda asosiy izlanuvchi noma’lum funksiyalar sifatida ko‘chishlarni qabul qilish va ularga nisbatan Lame tenglamalarini yechish qulay.
Elastiklik nazariyasining birinchi tur asosiy masalasini yechishda izlanuvchi noma’lum funksiyalar sifatida kuchlanish tenzorining komponentalarini olish, ya’ni masalani kuchlanish-larda yechish qulay.
Elastik muvozanatning uchta differensial tenglamalari (3) lar tarkibida oltita noma’lumlar qatnashadi va shuning uchun ularning yechimi bir qiymatli bo‘lmaydi. Haqiqiy kuchlanganlik holatini aniqlovchi funksiyalar (5) Guk qonuni orqali lar bilan bog‘langan bo‘lganliklari uchun, xuddi lar kabi ularning uzviylik shartini ifodalovchi tenglamalarga bo‘ysunishlari kerak. Bunday tenglamalar, yoki munosabatlarni (5) Guk qonuni yordamida (2) Sen-Venan differensial munosabatlaridan keltirib chiqarish mumkin. Lekin ushbu munosabatlarni (16)Lame tenglamalaridan keltirib chiqarish bir muncha osonroq. Quyida biz shu ishni bajaramiz.
Lamening (16)tenglamalarini koordinata bo‘yicha differensiallab,
(47)
tenglamaga ega bo‘lamiz va uni va indekslar bo‘yicha svertkalab,
,
hamda

ekanliklarini hisobga olib,
(48)
tenglamani olamiz. Bu yerda bizga ma’lum bo‘lgan

tengliklarni hisobga olsak

yoki
(49)
ifodani olamiz.
Lamening (16)tenglamalarida indeks erkin indeks bo‘lgani uchun uni ixtiyoriy, masalan, harfi bilan belgilash mumkin, ya’ni
(50)
Bu tenglamani koordinata bo‘yicha differensiallab,
(51)
ni olamiz va uni (47) bilan qo‘shamiz:
(52)
Lekin

bo‘lganligi hamda ekanligidan (52) ni

yoki
(53)
ko‘rinishga keltiramiz. Endi (53) ga (49) ni qo‘yamiz. U holda:
(54)
Olingan (54) munosabatlar kuchlanish tenzorining komponentalari orasidagi differensial bog‘lanishlarning har biri uchta tenglamadan iborat bo‘lgan ikkita quruhini ifodalaydi.
Birinchi guruh tenglamalaridan birinchisini bo‘lgan holda olamiz:
(55)
Ikkinchi guruh tenglamalaridan birinchisini bo‘lgan holda olamiz:
(56)
Guruhlarning qolgan munosabatlari (55) va (56) lardan indekslarni doiraviy almashtirish yo‘li bilan olinadi. Amalda uchraydigan masalalarning ko‘pchiligida - massaviy kuchlar yo nolga teng, yoki o‘zgarmas bo‘ladi. U holda (54) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(57)
Bu tengliklar 1892 - yilda Beltrami tomonidan o‘rnatilgan quyidagi oltita differensial bog‘lanishlarni ifodalaydi:
(58)
Yuqoridagi (55) ko‘rinishidagi uch tenglama va (56) ko‘rinishdagi yana uch tenglama birinchi marta 1900-yilda L.Mitchell tomonidan aniqlangan. Shuning uchun ham (54) differensial bog‘lanishlar Beltrami-Mitchell tenglamalari deb yuritiladi. Xuddi ana shu munosabatlar kuchlanishlarga nisbatan ifodalangan uzviylik tenglamalaridan iboratdir.
Endi (57) ni va indekslar bo‘yicha svertkalaymiz

lekin,
va bo‘lganligi uchun
bundan, (59)
ya’ni massaviy kuchlar bo‘lmaganida kuchlanish tenzorining birinchi, yoki chiziqli, invariant - garmonik funksiya-dan iboratdir.
Endi (57) Laplas operatorini qo‘llab ligini hisobga olsak,
(60)
ya’ni massaviy kuchlar bo‘lmagani yoki o‘zgarmas bo‘lganlarida kuchlanish tenzorining komponentalari bigarmonik funksiyalardan iboratdir.

6.