Mavzu: elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari, masalalari va teoremalari

Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari

silindrik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
¹0. (61) Bunda koordinat chiziqlari bo‘lib,
x₂
va to‘g‘ri chiziqlari xizmat qiladi.
2⁰. Kochish vektori ning komponentalari orasida
(62)
munosabatlar o‘rinli.
3⁰. Deformatsia tenzori komponentalari:
(63)
4⁰. Koshining differensial bog‘lanishlari:
(64)
Bu yerdan hajmiy deformatsia:
(65)
5⁰. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:
(66)
6⁰. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari:


(67)


7⁰. Kuchlanish tenzori komponentalari:
(68)
8⁰. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(69)

9⁰. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari (Lame tenglamalari):
(70)
10⁰. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:


(71)
11⁰⁰. Beltrami tenglamalari:


(72)

sferik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
1⁰.
(73)
2⁰. Ko‘chish vektori komponentlari:
(74)
3⁰. Deformatsia tenzori komponentalari:
(75)
4⁰. Ko‘chishlar va deformatsialar orasida Koshi-ning differensial munosabatlari:
(76)


5⁰. Hajmiy deformatsia quyidagicha aniqlanadi:
(77)
6⁰. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:

(78)
7⁰. Kuchlanish tenzori komponentalari:
(79)
8⁰. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(80)
9⁰. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari:
(81)
10⁰. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari yoyib yozilganda juda katta ko‘rinishga ega. Shuning uchun bu tenglamalarning egri chiziqli koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishini keltiramiz va undan zarur tenglamalarni keltirib chiqarishni o‘quvchiga havola qilamiz:
(82)
bu yerda
(83)
- egri chiziqli koordinata.
Sferik koordinata sistemasida noldan farqli ikkinchi jins Kristoffel simvollari quyidagi qiymatlarga ega:
(84)
11⁰. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari ham:
(85)
bu yerda Kristoffel ikkinchi jins simvollari (84) formulalar bilan, sferik koordinatalar sistemasida metrik tenzorning kontravariant komponentalari:
(86)
formulalar bilan hisoblanadi. Bundan tashqari, bu yerda, ya’ni sferik koordinatalar sistemasida Laplas operatori, ixtiyoriy skalyar -funksiya uchun, ushbu
(87)
ko‘rinishga ega ekanligini ham hisobga olish kerak.