Mavzu: elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari, masalalari va teoremalari

Kirxgoff teoremasi
Kirxgoff teoremasi yechimning yagonaligini isbotlaydi.
Demak, elastik jism statikasi asosiy masalalarining yechimlari yagonadir. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni elastik jism statikasining asosiy uch tur tenglamalaridan biri ikkita har xil yechimlarga ega bo‘lsin:
(104)
Ushbu yechimlar bir xil massaviy kuchlar va sirt kuchlari ta’sirida asosiy muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Xususan, va funksiyalar muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak, ya’ni:
(105)
va bunda quyidagi chegaraviy shartlar bajarilishi kerak:
1⁰. Birinchi tur asosiy masala holida:
va (106)
2⁰. Ikkinchi tur asosiy masala holida:
va (107)
3⁰. Uchinchi tur asosiy masala holida:
va (108)
Mavjudligi faraz qilinayotgan ikkita yechimning ayirmalarini qaraymiz:
(109)
Endi (98) ni (103) ga qo‘yib,
(110)
Yuqoridagi (105) va (109) ifodalardan ko‘rinadiki funksiyalar
(111)
bir jinsli muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Ya’ni (105) muvozanat tenglamalarida massaviy kuchlarni nolga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni . U holda (110) ifoda ancha soddalashadi:
(112)
Birinchi, ikkinchi va uchinchi tur masalalarda (109) funksialar uchun chegaraviy shartlar quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(113)
U holda (112) ning o‘ng tomonidagi integral hamma uch holat uchun nolga aylanadi:
(114)
chunki yoki da hamda bo‘lmasa yoki da Demak, (109) funksialar uchun (112) dan (114) ga asosan
(115)
Lekin W elastik potensial deformatsia tenzori komponentalarining musbat kvadratik funksiyasi bo‘lganligi uchun (115) tenglik jism egallagan sohaning hamma nuqtalari uchun bo‘lgan holdagina bajariladi. Bu esa jismning hamma nuqtalari uchun
va
Bu tengliklar teoremaning isbotidan iboratdir. Shunday qilib, uchala tur asosiy masalalar yechimlarining yagonaligi haqidagi teorema elastik jism statikasi uchun isbotlandi.
Betti teoremasi
Chiziqli-elastik jismning ikki holatini qaraymiz. Birinchi holatda jism - massaviy va - sirt kuchlari ta’siri ostida, ikkinchi holatda - massaviy va sirt kuchlari ta’siri ostida deformatsialansin. Birinchi holatda jismning kuchlangan-deformatsialangan holati funksialar bilan, ikkinchi holatda- funksialar bilan xarakterlanadi.
Betti teoremasi: birinchi holat kuchlarining ikkinchi holat ko‘chishlarida bajargan ishi, ikkinchi holat kuchlarining birinchi holat ko‘chishlarida bajargan ishiga teng.