Mavzu: elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari, masalalari va teoremalari

4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich-Neyber
shaklida tasvirlash
Faraz qilaylik jismga ta’sir etuvchi massaviy kuchlar bo‘lmasin. U holda bu jism muvozanati (20) tenglama bilan

kabi tavsiflanadi. Bu tenglamalarning yechimini
(27)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda - garmonik funksiyalar, ya’ni
.
va - aniqlanishi kerak bo‘lgan biror skalyar funksiya. Ushbu (27) formulaga asosan hajmiy deformatsia
(28)
ko‘chish va hajmiy deformatsiani (20) Lame tenglamalariga qo‘yamiz:
, (29)
lekin

bo‘lganliklaridan

yoki
. (30)
Ko‘rinib turibdiki, bu tenglama aynan qanoatlantiriladi, agar - skalyar funksiya
(31)
tenglamani qanoatlantirsa.
Yuqorida (27) yechim ko‘rinishini qabul qilishda funksiyalarning garmonik bo‘lishligini, ya‘ni ekanligini talab qildik. U holda - hosilalar ham garmonik funksiyalar bo‘ladi, chunki
(32)
Ushbu holni hisobga olgan holda (31) ning ikkala tomoniga ham Lamlas operatori bilan ta’sir etamiz. U holda

bundan
(33)
ya’ni (27) yechidagi - skalyar funksiya bigarmonik funksiyadan iborat bo‘lishi kerak ekan.
Istalgan garmonik funksiya bigarmonik funksiya ham bo‘ladi, chunki
(34)
Agar ya’ni garmonik funksiya bo‘lsa, funksiyalari bigarmonik funksiyalar bo‘lishligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan ham, misol uchun funksiyani qaraylik.
(35)
,
hamda

bo‘lganligidan

ya’ni
. (36)
U holda
(37)
shuni isbotlash talab etilgan edi. (32) yoki (37) tengliklardan garmonik funksiyaning hosilasi ham yana garmonik funksiya bo‘lishligi kelib chiqadi. Keltirilgan mulohazalarga asoslanib (31) tenglamaning xususiy yechimini
(38)
ko‘rinishida izlaymiz, bu yerda - o‘zgarmas. Ushbu tenglikni koordinata bo‘yicha ketma-ket differensiallaymiz:
(39)

Endi (39) tenglamani va indekslari bo‘yicha svertkalab, ya’ni qilib olib,

ifodani olamiz. Lekin

bo‘lgani uchun bu yerdan
(40)
Endi (40) va (31) larni solishtirsak
(41)
ya’ni (38) yechimdagi o‘zgarmasni aniqlaymiz.
Bir jinsli bo‘lmagan (31) tenglamaning umumiy yechimi uning (38) xususiy yechimi bilan ixtiyoriy garmonik funksiyalar yig‘indisiga teng bo‘lishi kerak, ya’ni
(42)
U holda (20) Lame tenglamalarining umimiy yechimi (27) va (42) larga asosan to‘rtta ixtiyoriy, o‘zaro bog‘lanmagan va garmonik funksiyalar orqali quyidagicha tasvirlash mumkin:
(43)
Ma’lumki ko‘chish vektori kabi aniqlanadi. Shuning uchun ham (43) ifoda bir jinsli izotrop jism nuqtasining (20)Lame tenglamasini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorining to‘rtta garmonik funksiyalar bilan tasviridan iboratdir. Ushbu ifoda birinchi marta P.F.Papkovich (1932) va Neyber (1934) lar tomonidan taklif etilganligi uchun ularning nomi bilan Papkovich-Neyber tasviri deb yuritiladi.
Ko‘pincha (43) ifoda (20) Lame tenglamalarining umumiy yechimi deb ham yuritiladi. Bu ifodani koordinata bo‘yicha differensiallab hamda (39) ning ikkinchi tengligini hisobga olib,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu ifodani va indekslar bo‘yicha svertkalab, va ekanliklaridan
(44)
ifodani olamiz. Yuqoridagi ning ifodasida umu-miylikni kamaytirmasdan deb hisoblash mumkin. U holda
(45)
Olingan (44) va (45) formulalarni Guk qonunining (6) ifodasiga qo‘ysak, kuchlanish tenzori komponentalarining garmonik funksiyalar orqali ifodasiga ega bo‘lamiz:
(46)
Ushbu ifoda kuchlanishlarning garmonik funksiyalar orqali tasvirlanishidan iboratdir.