Mavzu: Bog‘lanishlarning asosiy turlari va ularning reaksiya kuchlari. Kesishuvchi kuchlar sistemasi

T%ng tasir etuvchi kuch vektnrining koordinata o`qlari bilan hosil qilgan burchak kosinuslari quyidagi formulalardan aniqlanadi,

(2.4)

Biz statika aksiomalarini o`rganganimizda, 1 - aksiomaga asosan yo`nalishlari qarama - qarshi, qiymatlari o`zaro teng va bir to`g`ri chiziqda yotuvchi ikkita kuch o`zaro muvozanatlashuvchi kuchlar sistemasi deyilgan edi. Quyida bir tekislikda yotuvchi uchta kuchlar sistemasi ham o`zaro muvozanatlashuvchi kuchlar bo`lishi mumkinligi haqida so`z yuritiladi. Lekin bu holat isbot talab qiladi.

11. Uchta kuch muvozanati haqidagi teorema.
Statika masalalarini echganimizda, quyidagi uch kuch teoremasi juda qo`l kelishi mumkin. Teorema: Agar erkin jismga o`zaro parallel bo`lmagan uchta kuchlar tasir etsayu, u muvozanat holatda bo`lsa, bu kuchlar bir tekislikda yotadilar va ularning tasir chiziqlari bir nuqtada kesishadi.

Isbot: Teoremaga ko`ra bu kuchlar parallel bo`lmaganliklari uchun, ulardan ikkitasi biror A nuqtada kesishadi (3.1 shakl), ularning teng tasir etuvchisi

ni hosil qilamiz.

3.1-shakl.

Endi jismga faqat ikkita kuch tasir etmoqda, yani kuchi va kuchi xolos. Lekin bu erkin jism ikita kuch tasirida muvozanat holatda bo`lishi uchun 1 aksiomaga asosan bu kuchlar bir to`g`ri chiziqda yotishi kerak, yo`nalishlari qarama qarshi, son qiymatlari (modullari) o`zaro teng bo`lishi shart, shunga ko`ra bu uchinchi kuchning tasir chizig`i albatta shu A nuqtadan o`tadi. Teorema isbotlandi.
12.Uchrashuvchi kuchlar sistemasining muvozanatlik sharti.
Biz yuqorida ko`rib o`tdikki, 1 aksiomaga asosan ikkita kuchlar qaysi hollarda o`zaro muvozanatda bo`lishi mumkinligini ko`rdik. Keyin esa uchta kuch ham muvozanatda bo`lishi mumkin ekanligini ko`rib o`tdik.

Endi quyida nafaqat ikkita yoki uchta kuchlar emas, hatto birnecha kuchlar sistemasi ham ko`p hollarda o`zaro muvozanatlashuvchi kuchlar sistemasini tashkil etishi mumkinligini ko`rib o`tamiz.

Mexanik sistemaga tasir etuvchi kuchlar bir nuqtada uchrashsalar, bunday kuchlar uchrashuvchi kuchlar sistemasini tashkil etadi, va ularni birin ketin kuch ko`pburchagi usulida (geometrik usulda) yoki analitik usulda qo`shib chiqsak, ularning teng tasir etuvchisi kuch vektorini topamiz .

SHu teng tasir etuvchi vektor nolga teng bo`lsa, jism muvozanat holatda bo`ladi. Demak harqanday uchrashuvchi kuchlar sistemasi tasir etmasin, agar ularning teng tasir etuvchisi nolga teng bo`lsa, bu kuchlar sistemasi muvozanatda bo`lar ekan. Bu esa uchrashuvchi kuchlar sistemasi muvozanatining geometrik sharti deyiladi.

Uchrashuvchi kuchlar sistemasi muvozanataining analitik sharti, quyidagicha bo`ladi,

(3.1)
Demak fazoda joylashgan uchrashuvchi kuchlar sistemasining muvozanatini analitik sharti,

(3.2)
bo`yicha ifodalanar ekan. Agar uchrashuvchi kuchlar sistemasi biror tekislikda , masalan xOu tekisligida joylashgan bo`lsalar, ularning muvozanatini analitik ifodasi, quyidagicha bo`ladi,

(3.3)
Agar kuchlar sistemasi bir to`g`ri chiziqda joylashgan bo`lsalar, ularning muvozanatini analitik sharti quyidagicha bo`ladi,
(3.4)

Masalalar echganimizda albatta, shu tenglamalar sistemalarining tegishlisidan foydalanamiz.

13. Uchrashuvchi kuchlar sistemasiga doir statika masalalarini echish.
Aksariyat hollarda tegishli bog`lanishlar bilan bog`langan, birorta qattiq jism beriladi, va shu jismga qo`yilgan aktiv kuchlar ham berilgan bo`lib, shu jismga qo`yilgan bog`lanishlarning reaktsiya kuchlarini aniqlash so`raladi.

Agar jismga qo`yilgan aktiv kuchlar fazoda joylashgan bo`lsa, uchta muvozanat tenglamalar sistemasini tuzishimiz mumkin, shunga ko`ra uchta nomalum reaktsiya kuchlarini aniqlashimiz mumkin, agar ular tekislikda joylashgan bo`lsalar, ikkita muvozanat tenglamalar sistemasini tuzishimiz mumkin, shunga ko`ra faqat ikkita nomalum reaktsiyalarni aniqlashimiz mumkin xolos.

Agar uchrashuvchi fazoviy kuchlar tasir etgan jismda to`rtta va undan ortiq nomalum reaktsiya kuchlari paydo bo`lsa, yoki tekislikda joylashgan uchrashuvchi kuchlar tasiridagi jismga uchta va undan ortiq reaktsiya kuchlari qo`yilgan bo`lsa, bunday masalalar statik noaniq masalalar deyiladi.

Bunday masalalarni biz faqat nazariy mexanika tenglamalari orqali echaolmaymiz. Bu bilan, demak bunday masalalarni echish mumkin emas ekan degan xulosa chiqmasligi kerak, aslida bunday masalalar keyinroq, yani materiallar qarshiligi fanida, qo`shimcha tenglamalar tuzish yo`li bilan echiladi.

Umuman olganda, shuni takidlash lozimki xozirgi kunda, yani kompyuterlar rivojlangan davrda, mexanika sohasida birorta echilmaydigan real masalalar qolgan emas.

Masalalar echish tartibi, quyidagicha olib boriladi:
1) SHakl chiziladi, jismga tasir etayotgan aktiv kuchlar vektor shaklda tegishli yo`nalishda ko`rsatiladi,

2. 
   Bog`lanishlarning reaktsiya kuchlari ham vektor shaklida ifodalanadi.
   

1. 
   Koordinata o`qlari tanlab olinadi, o`qlar shunday tanlanib olinishi lozimki iloji boricha nomalum bo`lgan reaktsiya kuchlari faqat bitta o`qqa proektsiyalanishi taminlansin, aks holda masalani echish murakkabroq bo`lishi mumkin.
   
2. 
   Bog`lanishlarni tashlab yuboriladi, va yuqoridagi tenglamalar sistemasidan foydalanib, muvozanat tenglamalari tuziladi.
   
3. 
   Agar geometrik yo`lni tanlagan bo`lsangiz, uch kuch teoremasidan foydalanib, kuch uchburchagi quriladi, va sinuslar teoremasi orqali tegishli tenglamalar tuziladi.
   
4. 
   Tuzilgan tenglamalar sistemasini nomalum reaktsiya kuchlariga nisbatan echib nomalum kuchlar aniqlanadi.
   

Masala echib ko`rsatiladi.
Masala. AV balka A, S, va D nuqtalarda sharnirlar yordamida gorizontal holda qo`zg`almas bog`lanishga mahkamlangan. Balkaning V uchiga og`irligi Qh5 kH bo`lgan yuk osib qo`yilgan. Balkaning og`irligini hisobga olmasdan A va D nuqtalardagi tayanch reaktsiyalarni aniqlang. Balkaning o`lchovlari 3-a shaklda ko`rsatilgan.

3 - a shakl.

Echish: AV balkaga uchta uchrashuvchi kuchlar sistemasi tasir etmoqda, ular quyidagilardan iborat: Q - yukning og`irlik kuchi, CD - sterjenning tortilish kuchi va A nuqtadagi tayanch reaktsiyasi. SD - bog`lanish sterjendan iborat bo`lgani uchun uning reaktsiya kuchi CD - sterjen bo`ylab yo`naladi. A tayanch reaktsiyasining yo`nalishi aslida ikkita tashkil etuvchilardan iborat bo`lib, ularning teng tasir etuvchisi bizga nomalum.

Lekin uch kuch teoremasiga asosan balkaga uchta kuch tasir etib, u muvozanatda bo`lsa uchala kuchlarning tasir chiziqlari bir nuqtada kesishishlari shart. SHuning uchun Q kuchini tasir chizig`ini davom etdirsak, SD - sterjenni D nuqtasida kesishadi, demak A nuqtadagi reaktsiyalarning teng tasir etuvchi kuchi ham shu nuqtadan o`tishi shart (3-b shaklga qarang)

3- b shakl.

Masalani geometrik yo`l bilan echish uchun (3-c shakl), Q - kuchini malum masshtabda, o`z yo`nalishi bo`yicha ixtiyoriy nuqtaga qo`yamiz, uni oxiridan CD - sterjenga parallel chiziq o`tkazamiz, lekin uning uzunligini bilmaymiz. Buni aniqlash uchun Q - vektorining boshidan AD chizig`iga parallel o`tkazamiz, oxirgi ikkita chiziqlarning kesishgan nuqtasi va - vektorlarning qiymatlarini belgilaydi.

3 -s shakl.

Natijada 3 - s shaklda ko`rsatilgan , va vektorlardan iborat uchburchak hosil bo`ldi. Bu uchburchakning bir tomoni, yani Q -kuchining qiymati malum, va - vektorlarning son qiymatlari nomalum bo`lib, uni trigonometriya fanidagi sinuslar teoremasi yordamida aniqlaymiz.

Sinuslar teoremasidan, quyidagi proportsiyani yozamiz,

(3.a)

Bu proportsiyadan va . (3.v)

Masalani echish uchun sin va cos- larni qiymatlarini aniqlash zarur bo`ladi, shuning uchun shakldan uni qiymatini aniqlaylik. 3 -b shakldan va ga teng ekan. Pifagor teoremasidan foydalanib AD - ning uzunligini aniqlaymiz, .

SHu sababli va ga teng ekanligini aniqlaymiz. Trigonometriyadagi keltirish forumulalaridan quyidagilarni aniqlaymiz,

Endi  - burchagining qiymatini aniqlaylik, , shunga ko`ra keltirish formulalaridan

(3. s)

(3.d)

SHunday qilib tayanch reaktsiyalarini aniqladik. SHuni eslatib o`tish lozimki har qanday mashinalarning va qurilish inshootlarining mustahkamligini taminlashda, reaktsiya kuchlarini aniqlab olish juda muhim masalalardan hisoblanadi.

3 -d shakl.
Endi shu masalani analitik usulda echishni ko`rib o`taylik. Buning uchun xOu koordinata o`qlarini tanlab olaylik (3-d shakl), va bu nuqtaga , va vektorlarini keltirib qo`yaylik. So`ngra tekislikdagi uchrashuvchi kuchlar sistemasi uchun analitik muvozanat tenglamalarini tuzaylik,
(3.e)

(3.g)
cos45^o h sin45^o bo`lganligi sababli, 1 nchi tenglamani (-1) - ga ko`paytirib, 2 - nchisi bilan qo`shib yuborsak,

birinchi tenglamadan,

SHuni eslatib o`tish kerakki, bu masalani analitik yo`l bilan echilganda ham, A nuqtaning reaktsiya kuchini yo`nalishini uch kuch teoremasi orqali aniqladik. Keyinroq bu masalaga yana qaytamiz, va u erda A nuqtaning reaktsiya kuchini ikkita tashkil etuvchilardan iborat holdagi ko`rinishida masalani echamiz.