Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tengalmasi uchun Koshi masalasi

Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasi.

Endi t >0 da bir jinsli bo’lmagan issiqlilik tarqalish tenglamsi

Uchun Koshi masalasining yechimini topaylik.
₍₁₎-(1) Koshi masalasining yechimini
_{yig’indi ko’rinishida izlaymiz, bu yerda} funksiya bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasining (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi, esa (1) tenglamaning bir jinsli boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechim.
Yuqorida bir jinsli tenglamaning (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni (1) formula orqali topgan edik.
Endi yechimning integral ifodasini topamiz.Agar f(x,t) funksiya da uzliksiz va chegaralangan bo’lsa, u holda

Funksiya t>r da tenglamani va t=r da esa v(x,t,r)=f(x,t) tenglikni qanoatlantiradi.
Ushbu
(2’)
Funksiyani qaraylik.Bu funksiya uchunquydagi tengliklarning

O’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas.Bu tengliklardan (2’) funksiya (1)-(2)masalaning yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, funksiyaning ifodasi (2’) tenglika qo’yib,bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun bir jinsli Koshi masalasining
(2’’)
Yechimga ega bo’lamiz.
Endi yuqorida topilgan (12) va (22) formulalarni qo’shib,issiqlik tarqalish tenglamasi uchun (1)-(2) Koshi masalasining yechimi
(3’) Hosil qilamiz.
3-Teorema.Agar funksiya oraliqda,f(x,t) funksiya sohada uzliksiz va chegaralangan bo’lsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lib, bu yechim (23) formula bilan aniqlanadi.
Bu yerda va uning birinchi va ikkinchi tartibli barcha hosilalari t>0da chegaralangan funksiyalar.
1-Natija.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasining u(x,t) yechimi Q sohada cheksiz differensiyallanuvchi, ya’ni bo’ladi.
2-Izoh.Yuqoridagi natijaga ko’ra qaralayotganm Koshi masalasining u(x,t) yechimni t>0 bo’lganda x va t o’zgaruvchilar bo’yicha differensiyalash berilgan funksiyaning silliqligiga bog’liq emas.
Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimining silliqlik tor tebranish tenglamasi yechimdan tubdan farq qiladi.Qaralayotgan sohada tor tebranish tenglamasi yechimining silliqligi berilgan funksiyalarning silliqligiga bog’liq bo’ladi.
3-Izoh. (2)formuladan ko’rinadiki , issiqlik tarqalish sterjen bo’ylab biror tezlik bilan emas, balki oniy tarqaladi .Haqiqatdan ham,faraz qilaylik,boshlang’ich harorat integral va undan tashqarida bo’lsa. U holda u(x,t) temperaturaning keyingi tarqalishi uchun

formulaga ega bo’lamiz.
Bu formuladan yetarlicha kichik t>0 va yetarlicha katta x uchun u(x,t) musbat ekanligini ko’rish qiyin emas. Bundan ko’rinadiki, sterjenda issiqlik cheksiz tezlik bilan, ya’ni oniy tezlik bilan tarqaladi. Tabiiyki . bunday bo’lishi mumkin emas.Demak, (1) tenglama sterjenda issiqlik tarqalish masalasi to’liq ifodalamas ekan . Bu issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqarishdagi ayrim fizikaviy noaniqliklar bilan bog’liq.