Mavzu: Binomial taqsimotning sonli xarakteristikalari Reja: Kirish Asosiy qism

1. Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor.
Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.
O’yin soqqasini tashlaganda 1,2,3,4,5 va 6 sonlar chiqishi mumkin edi. Chiqqan ochkolar sonini avvaldan aytib bo’lmaydi, chunki u to’la-to’kis inobatga olib bo’lmaydigan ko’p tasodifiy sabablarga bog’liqdir. Shu ma’noda ochkolar soni tasodifiy miqdordir. 1,2,3,4,5 va 6 sonlar bu miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlaridir.
Tasodifiy miqdor deb, avvaldan noma’lum bo’lgan va oldindan inobatga olib bo’lmaydigan , tasodifiy sabablarga bog’liq bo’lgan hamda sinash natijasida bitta mumkin bo’lgan qiymat qabul qiluvchi miqdorga aytiladi.
1-misol. 100 ta chaqaloq ichida o’g’il bolalar soni 0,1,2,3,…,100 qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdordir.
2-misol. To’pdan otilgan snaryadning uchib o’tgan masofasi tasodifiy miqdordir. Haqiqatan ham, masofa faqat nishonga oluvchi asbobning o’rnatilishigagina bog’liq bo’lmay, balki avvaldan to’la-to’kis inobatga olib bo’lmaydigan bir qancha sabablarga (shamolning kuchi va yo’nalishi, harorat va boshqalarga)ham bog’liq. Bu miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari biror (a;b) oraliqqa tegishlidir.
Biz bundan keyin tasodifiy miqdorlarni X, Y, Z bosh harflar bilan, ularning mumkin bo’lgan qiymatlari esa tegishli x, y, z kichik harflar bilan belgilaymiz. Masalan tasodifiy miqdor uchta qiymat qabul qilishi mumkin bo’lsa, ular quyidagicha belgilanadi:
Yuqorida keltirilgan misollarga qaytaylik. Ulardan birinchisida X tasodifiy miqdor quyidagi mumkin bo’lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin edi:
0,1,2,3,…,100. Bu qiymatlar bir-biridan X ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini o’z ichiga olmagan oraliq bilan ajratilgan. Shunday qilib, bu misolda tasodifiy miqdor ayrim, ajralgan qiymatlar qabul qiladi.
Ikkinchi misolda tasodifiy miqdor (a; b) oraliqqa tegishli ixtiyoriy qiymat qabul qilishi mumkin. Bu yerda tasodifiy miqdorning biur mumkin bo’lgan qiymatini boshqasidan mumkin bo’lgan qiymatlarni o’z ichiga olmagan oraliq bilan ajratib bo’lmaydi.
Mana shu aytilganlarningo’zidanoq ayrim , ajralgan qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlarni mumkin bo’lgan qiymatlari biror oraliqni to’liq to’ldiruvchi tasodifiy miqdorlardan farq qilishi maqsadga muvofiq degan xulosaga kelish mumkin.
Diskret (uzlukli) tasodifiy miqdor deb, ayrim, ajralgan qiymatlarni ma’lum ehtimollar bilan qabul qiluvchi miqdorga aytiladi. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb, chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan miqdorga aytiladi. Ko’rinib turibdiki, uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarim soni cheksizdir.
Birinchi qarashda, diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarining hammasini sanab o’tish yetarlidek ko’rinadi. Aslida esa bunday emas: tasodifiy miqdorlarning mumkin bo’lgan qiymatlari bir xil bo’lib, ularning ehtimollari esa har xil bo’lishi mumkin. Shu sababli diskret tasodifiy miqdorning berilishi uchun uning mumkin bo’lgan qiymatlarini sanab chiqish yetarli emas, yana ularning ehtimollarini ham ko’rsatish lozim.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb, mumkin bo’gan qiymatlar bilan ularning ehtimollari orasidagi moslikka aytiladi. Taqsimot qonunini jadval orqali, analitik usulda (formula ko’rinishida) va grafik usulda berish mumkin.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuning jadval orqali berilishida jadvalning birinchi satri mumkin bo’lgan qiymatlardan ikkinchi satri esa ularning ehtimollaridan tuziladi

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Bitta sinashda tasodifiy miqdor mumkin bo’lgan qiymatlardan bittasini faqat bittasini qabul qilishini nazarda tutib ,

Hodisalar to’la gruppa tashkil qiladi,degan xulosaga kelamiz; demak bu hodisalarning ehtimollari yig’indisi , ya’ni jadvalning ikkinchi satri ehtimollar yig’indisi birga teng:

Biz taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to’liq xarakteristikalashini bilamiz. Lekin, ko’pincha taqsimot qonuni noma’lum bo’lib, kam ma’lumotlar bilan cheklanishga to’g’ri keladi. Ba’zan hatto tasodifiy miqdorni yig’ma tasvirlaydigan sonlardan foydalanish qulayroq bo’ladi.
Bunday sonlar tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari deyiladi.Muhim sonli xarakteristikalar jumlasiga matematik kutilish tegishlidir.
Matematik kutilish tadbiqan tasodifiy miqdorning o’rtacha qiymatiga teng bo’ladi.Ko’p masalalarni hal etishda matematik kutilishni bilish kifoya.
Ta’rif: Diskret tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishi deb, uning mumkin bo’lganqiymatlarini mos ehtimollarga ko’paytmalari yig’indisiga aytiladi.
X tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda ehtimollar bilan qabul qilsin. U holda X tasodifiy miqdorning M(X) matematik kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi.