Mavzu: Binomial taqsimotning sonli xarakteristikalari Reja: Kirish Asosiy qism

3-xossa: Ikkita erkli Z va Y tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutishi ularning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng.
Ya’ni:
M(XY)=M(X) M(Y)

Isboti: X va Y erkli tasodifiy miqdorlar o’zlarining taqsimot qonunlari bilan berilgan bo’lsin:






X, Y tasodifiy miqdor qabul qilishi kerak bo’lgan barcha qiymatlarni tuzib chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo’lgan barcha qiymatlarini Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga ko’paytirib chiqamiz, natijada larni hosil qilamiz:




Matematik kutilish mumkin bo’gan barcha qiymatlarini ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisiga teng:

yoki:


Natija: Bir nechta o’zaro erkli tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng.
Masalan, uchta tasodifiy miqdorlar uchun quyidagicha bo’ladi:
M(XYZ)=M(XY Z)=M(XY) M(Z)=M(X) M(Y) M(Z) .
Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.
4-xossa:Ikkita tasodifiy miqdor yig’indisining matematik kutilishi qo’shiluvchilarning matematik kutilishlari yig’indisiga teng.
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Isboti: X va Y ning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymatini qo’shamiz:

larni hosil qilamiz.
Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz. miqdorning miqdorning matematik kutilishi mumkin bo’lgan qiymatlarni ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisiga teng:





.
ekanliginiisbotlaymiz. X tasodifiy miqdor qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli ga teng) tasodifiy miqdor yoki qiymatni qabul qilish hodisasini ergashtiradi va aksincha. Bundan tenglik kelib chiqadi. Ushbu

Tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi.

Bu tengliklarning o’ng tomonlarini (*) munosabatga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz.



Yoki uzil kesil.
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Natija: Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi qo’shiluvchilar matematik kutilishining yig’indisiga teng.
Masalan, uchta qo’shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz

M(X+Y+Z)=M[(X+Y)+Z]=M(X+Y)+M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

Ixtiyoriy sondagi qo’shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.
Tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi.
Aytaylik, X-tasodifiy miqdor, M(X) uning matematik kutilishi bo’lsin. Yangi tasodofiy miqdor sifatida X-M(X) ayirmani qaraylik:
Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi.
X ning taqsimot qonunu ma’lum bo’lsin:




Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz: chetlanish

qiymatqabulqilishiuchuntasodifiymiqdor qiymat qabul qilishi kifoya.Bu hodisaning ehtimoli esa gateng .Demak, chetlanishning ham qiymat qabul qilish ehtimoli ga teng.
Chetlanishning boshqa mumkin bo’lgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga o’xsash mulohazalar o’rinli.
Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega: