Mavzu: Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра Reja

Kongruyensiya. Faktor – algebra

Agar  ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n , ixtiyoriy n o’rinli  simvol uchun, ixtiyoriy   majmualar uchun bajariladigan   bajarilishidan kelib chiqsa,  ekvivalent munosabatga  algebrada kongruensiya deb ataladi.
Bu barcha amallarni  ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.


Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan  elementlar uchun, ixtiyoriy  a+b element  sinfga tegishli bo’ladi.
A to’plamning  konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:



bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti C ga  elementni mos qo’yamiz, bu element  to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda  to’plamda f funksiyani quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz:




Ixtiyoriy  elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan kongruentlik xossasiga ko’ra  ya’ni

 bajariladi.
Bunday hosil qilingan  algebraga U algebraning  konguensiya


bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.

 elementga   sinfni mos qo’yuvchi  akslantirish U algebra va  algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.

Agar  gomomorfizm bo’lsa, u holda Ker  to’plam U algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni  gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi izomorfligi haqidagi teoremani keltiramizTeorema. (gomomorfizm haqidagi teorema) Agar  epimorfizm va


tabiiy gomomorfizm bo’lsa, u holda  tenglikni qanoatlantiruvchi


 izomorfizm mavjud bo’ladi.

Isboti.  deb olamiz, bunda  Agar  bo’lsa, u holda  tenglik kelib chiqadi, ya’ni  akslantirish korrekt aniqlangan.  tenglikning bajarilishi tushunarli, bundan uning syureksiya ekanligi kelib chiqadi.  akslantirishning gomomorfizm bo’lishi

to’g’ridan to’g’ri tekshiriladi. Agar  bo’lsa, u holda  bunda  Bundan 

ya’ni b=b’ bo’ladi, bu esa  akslantirishning o’zaro bir qiymatli ekanligini isbotlaydi. Signaturaning funksional ekanligi va   akslantirishning mavjudligidan  ning izomorfizm ekanligi kelib chiqadi.Teoremada keltirilgan   akslantirishlar quyidagi diagrammada keltirilgan: