Mavzu: Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra. Reja

Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.

1-xossa. Agar a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_b (x) bo‘lsa, u

holda

a₀ b₀ , a₁ b₁, a₂ b₂ ,..., a_n b_n ,...

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) f_a (x) f_b (x) bo‘ladi.

	2-xossa. Agar	a0 , a1 , a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
fa (x)	va b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...	ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi fb (x)		bo‘lsa, u
		n
holda	elementlari	^dn^^ai^bni	( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat	bo‘lgan

i0

d₀ , d₁, d₂ ,..., d_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) f_a (x) f_b (x) bo‘ladi.

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-m i s o l . Ushbu 0,1,2,3,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) ^x bo‘ladi.

(1 x)²


Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikkakxk ko‘rinishdagi darajali
k0


qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalinixk qatorga

k0



1

qo‘llab

va

x

1 bo‘lgan hol

uchun

o‘rinli

x^k



tenglikni hisobga olib,

1 x

k0

quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:







d

x^k



kx^k xkx^k

^1 x

k0

k0

k0 ^dx

d^

k

d



1

x

 x

x

 x







.

(1 x)

2

^dxk0

dx

1 x

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni

hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.

3-xossa. Agar a0 , a1 , a2 ,..., an ,...

ketma-ketlikning

hosil

qiluvchi

funksiyasi

fa (x)

bo‘lsa, u holda elementlari

bn (n1)an1

( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat

b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f

b

(x)

dfa (x)

bo‘ladi.

0 1

2

n

dx

4-misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab

etilsin.



Hosil

qiluvchi funksiya

ta’rifiga

ko‘ra izlanayotgan

funksiya

(1 k )x^k

k0

darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 1,1,...,1,... va 0,1,2,3,... ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:







1

x

1 x

x

1

(1 k)x^kx^kkx^k







.

 x)

2

(1 x)

2

 x)

2

k0

k0

k0

1 x (1

(1

Demak, 1,2,3,4,...

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi

f (x)

1

(1 x)^2

bo‘ladi.