Mavzu: Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra. Reja

Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning hossalari. Hosil qiluvchi funktsiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi.

Reja:

1. 
   Nyuton binomi.
   
2. 
   Binomial koeffietsientlarning xossalari.
   
3. 
   Hosil qiluvchi funktsiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi.
   

Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar. O’rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko’paytirish formulalarini eslaylik:
(a  b)²  a²  2ab  b² – yig’indining kvadrati;

(a  b)³  a³  3a²b  3ab²  b³ – yig’indining kubi.

Yig’indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz:

(a  b)⁴  (a  b)(a  b)³  (a  b)(a³  3a²b  3ab²  b³ ) 

^{ a4  4a3b  6a2b2  4ab3  b4} ,
(a  b)⁵  (a  b)(a  b)⁴ 
^{ a5  5a4b  10a3b2  10a2b3  5ab4  b5} .
Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya’ni to’rtinchi darajasi)

(a  b)⁴  a⁴  4a³b  6a²b²  4ab³  b⁴

va yig’indining beshinchi darajasi

(a  b)⁵  a⁵  5a⁴b  10a³b²  10a²b³  5ab⁴  b⁵

formulalariga ega bo’lamiz.

Yuqorida keltirilgan yig„indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o„ng tomonlaridagi ko„phad koeffitsientlari Paskal uchburchagining mos

n
qatorlaridagi C^m ( ^{n  2,3,4,5} ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1. 
   t e o r e m a . Barcha haqiqiy ^a va b hamda natural ⁿ sonlar uchun
   

(a  b)ⁿ  aⁿ  C¹a^n1b  C ²a^n2b² ...  C^n1ab^n1  bⁿ

formula o‘rinlidir.
n n n

Isboti . Matematik induksiya usulini qo’llaymiz.

Baza:
n 1 bo„lganda formula to„g„ri:
(a  b)¹  a  b .

ya‟ni
Induksion o„tish: isbotlanishi kerak bo„lgan formula
n  k
uchun to„g„ri bo„lsin,

(a  b)^k  a^k  C¹a^k1b  C²a^k2b² ...  C^k1ab^k1  b^k .

k k k

Formula
n  k 1
bo’lganda ham to’g’ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham,

C^m1  C^m  C^m1 formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:
n1 n n

(a  b)^k1  (a  b)(a  b)^k 
 (a  b)(a^k  C¹a^k1b  C²a^k2b² ...  C^k1ab^k1  b^k ) 
k k k
 a^k1  C¹a^kb  C²a^k1b² ...  C^k ab^k 
k k k
 C⁰a^kb  C¹a^k1b² ...  C^k1ab^k  b^k1 
k k k
 a^k1  (C⁰  C¹)a^kb  (C¹  C²)a^k1b² ...
k k k k
...  (C^k1  C^k )ab^k  b^k1 

_{ a}k1 _{ C}1
k k
a^kb  C² a^k1b² ...  C^k
ab^k  b^k1 .

k1
k1
k1

^{Ixtiyoriy a va} b ^{haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun}
(a  b)ⁿ
ifodaning

ko’phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton ¹ binomi deb ataladi. Umuman olganda, “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtai nazardan yondoshilsa, undagi

ikkala so’zga nisbatan ham shubha tug’iladi: birinchidan,
(a  b)ⁿ
ifoda birdan katta

natural n sonlar uchun binom (ya’ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyutongacha ma’lum edi².

Greklar
(a  b)ⁿ
ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat
n  2
bo„lgan holida

(ya‟ni, yig„indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Hayyom³ va Ali Qushchi

(a  b)ⁿ
ifodani
n  2 bo’lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton

esa 1767 yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo’llagan. L. Eyler 1774 yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren ⁴ esa bu formulani darajaning ratsional ko’rsatkichlari uchun qo’lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel ⁵ daraja ko’rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.



C

n
^m sonlarni binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunday ta’rif bu

n
koefitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o’rniga qarab berilgan bo’lib, C^m
son



(a  b)  _C a b
n
n m nm m
n

yoyilmadagi


_anm_bm
m0

ifodaning koeffitsientidir.

2. 
   t e o r e m a . Barcha haqiqiy ^a va b hamda natural ⁿ sonlar uchun
   

(a  b)  _(1) C a b
n
n m m nm m
n

formula o‘rinlidir.
m0

¹ Isaak Nyuton (Newton, 1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi.
² Ushbu paragrafning 3.1 bandidagi xronologik ma‟lumotlarga qarang.
³ Umar Hayyom G„iyosiddin Abul-Fatx ibn Ibrohim (خیام عمر, 1048 yil atrofida tug’ilgan-1122 yildan so’ng vafot etgan) – fors va tojik shoiri, matematigi va faylasufi.
⁴ Makloren Kolin (Maclaurin Colin, 1698-1746) – Shotlandiya matematigi.
⁵ Abel Nils Xenrik (Niels Henric, 1802-1829) – Norvegiya matematigi.

^{Isboti . Nyuton binomi formulasida} b ^{ni (}  b ^{)ga almashtirsak kerakli formulani} hosil qilamiz.

1. 
   m i s o l . Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko’paytirish formulalari kelib chiqadi:
   

n  2 bo’lganda ayirmaning kvadrati formulasi
(a  b)²  a²  2ab  b² ;


n  3 bo’lganda ayirmaning kubi formulasi
(a  b)³  a³  3a²b  3ab²  b³ .

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.

Haqiqatdan ham, ixtiyoriy
a,b₁,b₂ ,..., b_n
sonlar uchun
(a  b₁ )(a  b₂ )...(a  b_n )
ifodani

(a  b )(a  b )...(a  b )  aⁿ  a^n1(b  b  ...  b ) 

1 2 n 1 2 n

• 
  a^n2(bb  bb
  

...  b b ) 

1 2 1 3
n1 n

• 
  a^n3(bb b
  

...  b b b ) ...  bb ...b .

1 2 3
n2
n1 n
1 2 n

ko„rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o„ng tomonida joylashgan ^an oldidagi

n

n
koeffitsient birga ( 1  C⁰ ) teng. Birinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar soni ⁿ ga ( n  C¹ ) tengligi yaqqol ko’rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar
^{b , b ,..., b} ( ⁿ ta) elementlardan ikkitadan ko„paytmalar (soni C² ga teng gruppalashlar)
^{1 2 n} n
ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar esa o„sha

n
ⁿ ta elementlardan uchtadan ko„paytmalar bo„lib, ularning soni C³ ga teng va hokazo.

n
Oxirgi qo„shiluvchi oldidagi koeffitsient birga ( 1  Cⁿ ) teng. Yuqoridagi tenglikda
b₁  b₂  ...  b_n  b deb olsak, Nyuton binomi formulasini hosil qilamiz.

