Mavzu: Algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha reja

Oraliqnitengikkigabo’lishusuliningishchialgoritmivadasturi

Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’takichik son, yechimnitopishaniqligi) taqribiy-sonliyechimini (a;b) oraliqdatopishniquyidagialgoritmbo’yichatashkilqilamiz:

• 
  1. Berilgan (a;b) oraliqnio’rtasinianiqlaymiz.
  
• 
  2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaliginif(a) f(c)<0 shartidanfoydalanibaniqlaymiz.
  
• 
  3. Shartniqanoatlantiradiganoraliqniyangioraliqsifatidaolamizvauniyanatengikkigabo’lib, yuqoridagiishlarniyanatakrorlaymiz.
  

Xulosaqilibaytganda, biz tanlabolayotgankesmalardatenglamaningtaqribiyildiziyotadi. Demak, kesmalarnitoraytiribborarekanmiz.
Natijada, qandaydirqadamdanso’ngtenglamaninganiqyokitalabqilingananiqlikdagitaqribiyildizinihosilqilamiz

2. 
   Tenglamalarniyechishningiteratsiyausuli
   

Berilganf(x)=0 tenglamaniungatengkuchlibo‘lgan x= (x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.

2-teorema.Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqdaaniqlanganvadifferensiallanuvchibo‘lsin;
2) (x) funksiyaninghammaqiymatlari [a,b] oraliqqatushsin;
3)[a,b] oraliqda (x)q <1 tengsizlikbajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim
t_n= (t_n-1).
formulalarbilananiqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda a va b rasmlaryaqinlashuvchi, c rasmuzoqlashuvchiva t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi,t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.

Bu teoremaasosidatenglamaildiziniquyidagichaaniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan[a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x)ninguzluksizligivaf(a)^.f(b)<0 shartbajarilishinitekshiramiz. 3)Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1< shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizningtaqribiyqiymatiuchunx_nniolamiz.

Misol.
Iteratsiyausulibilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4aniqlikda toping.

TenglamaniF(x)=0 ko’rinishdan tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

1. 
   bunda
   
2. 
   bunda,
   
3. 
   bunda, =
   

funksiyalarningqaysibiriyaqinlashuvchiekanliginianiqlabolamiz. Buninguchun,

shartnibajaruvchiekanliginitekshiramiz.
[0,1] intervaldanolingan x₀nuqtaniolinganhosilagaqo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;



Iteratsionjarayonyaqinlashuvchanliginitekshiramiz
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
– yaqinlashuvchi iteratsion jarayon

Bundanko’rishimizmumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekan.

= nihisoblaymizva shartni tekshiramiz. .
=
Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.

2.