Mavzu 6 Garmonik funksiyalar va ularning xossalari. Grin formulalari va integral tasvir

Mavzu 6

Garmonik funksiyalar va ularning xossalari.

Grin formulalari va integral tasvir
Garmonik funksiyalarining xossalarini aniqlash uchun Grinning formulalaridan foydalanamiz. Bu formulalarda garmonik funksiyalarning soha integrali bilan chegaraviy integrallarining bog‘liqligi o‘rganiladi.

tekis soha, esa ning chegarasi bo‘lsin. Matematik analizda Grinning quyidagi formulasi isbotlanadi

.

Bu Grin formulasining davomini keltiramiz.

Agar bo‘lsa, bunday funksiyalar uchun

ayniyat o‘rinli bo‘ladi. Bu ayniyatni soha bo‘yicha integrallaymiz

. (6.1)

Gauss va Ostrogradskiyning

formulasida tashqi normal ekanligi uchun (6.1) formulaning birinchi integralida desak Gauss – Ostragradskiy formulasidan

bo‘lgani uchun quyidagini hosil qilamiz

(6.2)

bo‘lgani uchun (6.2) ni

(6.3)

ko‘rinishda yozamiz. (6.3) formulaga Grinning birinchi formulasi deymiz. (6.3) formulada funksiyalarning o‘rinlarini almashtiramiz, ya’ni

bo‘lsin, natijada

oxirgi tenglikdan (6.3) ni ayiramiz

. (6.4)

(6.4) formulaga Grinning ikkinchi formulasi deymiz.

Grinning ikkinchi formulasidan foydalanib, quyidagi integral tasvir formulasini isbotlaymiz.

Teorema 6.1. Agar chegaralangan sohaning chegarasi bo‘lakli silliq bo‘lib, va - Laplas tenglamasining fundamental echimi bo‘lsa - parametrik nuqta bo’lsa u holda quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli

Isbot. Grinning formulalarini funksiyaning maxsuslikka ega ekanligi uchun qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun sohadan x nuqtaning atrofini (sharni) olib tashlaymiz va sohani hosil qilamiz.

bo‘lgani uchun Grin formulasini sohaga qo‘llaymiz. ning chegarasi va ning chegarasi dan iborat. Shuning uchun

(6.5)

bunda ning nuqtasidagi normal hosiladan iborat. Bunda differensiallash nuqta koordinatalari bo‘yicha olib borilayapti. - fundamental echim bo‘lganligi uchun da

(6.2)

Integral tasvir formulasini bo‘lgandagi limit orqali aniqlaymiz. (6.1) dagi quyidagi hadni qaraymiz

.

Bunda integral ostidagi funksiya da uzluksiz bo‘lganligi uchun o‘rta qiymat formulasidan

(6.3)

tenlikni hosil qilamiz.

Bunda bo‘lganda radiusli sfera sirtining yuzi, bo‘lganda radiusli aylana uzunligidan iborat. Agar radiusi birga teng sfera sirtini bilan belgilasak



sirtda bo‘ladi va



dagi tashqi normal uchun

bo’ladi.

(6.3) tenglikga larning qiymatini qo‘yamiz

Demak bo‘ladi. bo‘lganda sfera x nuqtaga tortiladi va da uzluksiz bo‘lgani uchun bo‘ladi. Shuning uchun

Endi (6.1) tenglikda ga limitga o‘tib, (6.2) ni hisobga olganda

,

yoki

(6.4)

tenglikni hosil qilamiz.

Agar da garmonik bo‘lsa, bo‘ladi. Natijada (6.4) dan

(6.5)

kelib chiqadi.

(6.5) formulaga garmonik funksiyalar uchun integral tasvir formulasi deb aytiladi.

Integral tasvir formulasidan va Grin formulalaridan foydalanib, garmonik funksiyalarning xossalarini keltiramiz.

Xossa 1. Bu xossada quyidagi teoremani isbotlaymiz.

Teorema 6.2. Agar sohada garmonik funksiya bo‘lsa, u holda bu funksiyadan sirt bo‘yicha olingan normal hosila nolga teng bo‘ladi

(6.6)

Isbot. funksiya da garmonik va da uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lgani uchun Grin formulalarini qo‘llash mumkin. Grinning birinchi formulasida desak,

bo‘ladi. Bu formuladan foydalanib Neyman ichki masalasi echimga ega bo‘lishi uchun funksiya

(6.7)

shartini qanoatlantirishi kerak. (6.7) shartga Neyman masalasini yechimga ega bo’lishi sharti deymiz.

Xossa 2. Bu xossada quyidagi teoremani isbotlaymiz.

Teorema 6.2. sohada garmonik funksiya bu sohada cheksiz differensiallanuvchi bo‘ladi.

Isbot. soha chegarasi bo‘lsa, funksiya uchun quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli.

Agar bo‘lsa, bu formuladan integral ostida differensiallash mumkin, chunki integral ostidagi funksiya va uning xosilalar uzluksiz. Shuning uchun cheksiz differensiallanuvchi bo‘ladi.

Teorema isbot bo‘ldi.

Xossa 3. Bu xossada garomnik funksiyalar uchun quyidagi o‘rta qiymat teoremasi isbotlanadi.

Teorema 6.3. funksiya sharda chegaragacha uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiyaning sferadagi o‘rta qiymati sfera markazidagi qiymatiga teng.

Isbot. sharda, yani da bo‘lgani uchun quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli

. (6.8)

sferada bo‘lgani uchun



dagi tashqi normal nuqta bilan tutashtiruvchi normal , bilan bir xil yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun

(6.8) dagi o‘zgarmaslarni tashqariga siqarib quyidagini yozamiz.

.

Sfera bo‘yicha olingan ning integrali nolga tengligi uchun,

bo’ladi.

Bu tenglamaninng chap tomoni o‘zgarmas bo‘lgani uchun limitga o‘tish mumkin

. (6.9)

(6.9) da bo’ladi.

Teorema isbot bo‘ldi.

Xossa 4. Bu xossada garmonik funksiyalar uchun maksimum qiymat prinsipi isbotlanadi.

Teorema 6.5. Agar funksiya

1. 
   sohada garmonik bo‘lsa,
   
2. 
   da uzluksiz,
   
3. 
   bo‘lsa,
   

u holda bu funksiya o‘zining engn katta va eng kichik qiymatini sohaning chegarasi bo‘lgan da erishadi.

Isbot. funksiyaning da uzluksiz bo‘lgani uchun maksimumga erishadi. Isbotni teskarisidan olib boramiz. Maksimum qiymat ning ichki nuqtasi bo’lib, ga sohaga qarashli bo‘lsin. O‘rta qiymat teoremasidan

da funksiyani dan kichik qiymat qabul qilmasligini isbotlaymiz. Agar dagi biror nuqtadagi qiymat dan kichik bo‘lsin deb faraz qilsak, ya’ni bo‘lsa, ning uzluksizligidan uchun

deb olsak,

bo’lib, biz

qarama – qarshilikga kelamiz. Demak,



ixtiyoriy bo‘lgani uchun da hosil bo‘ladi.

Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin va nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqni deylik. nuqta ning kesishgan nuqtasi bo‘lsin. Yuqoridagi mulohazalarni davom ettirib, shunday radiusli sharni topamizki sharda bo‘ladi. Shunday qilib chekli qadamda biz ni hosil qilamiz. Demak, ekan. Bu faraz 3) shartga qarshi bo‘ldi. Bu qarama – qarshilik teoremani isbotlaydi.

Natija 1. Agar u(x) funksiya da garmonik, da uzluksiz bo‘lib bo’lsa, u holda bo‘ladi.

Isbot. Natija shartidan bo‘ladi dan bo’ladi.

Natija isbot bo‘ldi.

Natija 2. Agar funksiyalar da garmonik bo‘lib, da uzluksiz va bo‘lsa, u holda da bo‘ladi.

Isbot. desak, da garmonik va da uzluksiz bo‘ladi hamda uning maksimumi da erishadi. Shuning uchun

bo’ladi.

Natija isbot bo‘ldi.

Natija 3. Agar funksiyalar da garmonik, da uzluksiz va bo‘lsa, u holda

bo’ladi.

Natija 3 ning Isboti xuddi natija 2 ga o‘xshash isbotlanadi.

Mustaqil echishga doir mashqlar

1. 
   B.K.159. Agar bo’lsa funksiyaning da ekstremum nuqtalarini toping.
   
2. 
   B.K.160. Agar bo’lsa funksiyaning da ekstremum nuqtalarini toping.
   
3. 
   bo’lsa funksiyaning ekstremum nuqtalarida normal hosilasini toping.
   
4. 
   bo’lsa funksiyaning ekstremum nuqtalarida normal hosilasini toping.