Mavzu : Giperbolik sistema uchun Fur’e usuli va Laplas almashtirishlari reja : Kirish

ΙΙ bob. Giperbolik sistema uchun chegaraviy masalalarning xos funksiyasidan foydalanish usullari.

1. 
   Koshi masalasini yechish formulasidan chegaraviy masalalarni yechish asimptotik formulasini hosil qilish usuli
   

Laplas almashtirishlari bilan bog’liq oddiy differensial tenglamalarda Koshi masalasini yechish uchun asimptotik formulalar ikkita mustaqil tenglamalarni o’z ichiga olgan sistema yechimlarining aniq ko’rinishidan olingan. Quyidagi lemmalar asta sekin tenglamalar bog’lanishining tobora murakkab xarakterga ega bo’lishiga olib keladi
Koshi masalasining yechimlari asimptotikasi haqidagi teorema :
Agar birinchi hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan funksiyalar bo’lsa ,

sistemaning har qanday yechimlari da segmentidagi tengsizliklarni qanoatlantiradi :


Bu yerda doimiy(o’zgarmas) M koeffitsentlar va ularning hosilalarining maksimal modullari orqali baholanib , quyidagi formulalar bilan aniqlanadi :

Ajralmagan bir jinsli

sistemasining qolgan qismi bundan keyin asimptotikamizning asosiy hadini ifodalovchi

formulalar bilan yoziladi.
Ushbu asimptotikada O(1/⋏) tartib shartlari tenglamalardagi inkor qilingan hadlarning ta’sirini baholaydi. Birinchi navbatda

doimiy koeffitsentli (1) tenglamaning yechimlarini ko’rib chiqaylik. Bu yechimni quyidagi formula bilan yozish mumkin.

U(0)=0 ekanligidan to’g’ridan to’g’ri differensiallash orqali tenglama qanoatlantirilganligini tekshirish mumkin. qismlar bo’yicha integratsiyalashgan holda formulani boshqa shaklga keltirib yozish mumkin.


|y|≤Y , λ= , | |≤ bo’lsa ,

deb faraz qilib , yechim formulalaridan foydalanib , |U(y)|≤const max|a(y)| ,

tengsizlikni olishimiz mumkin.
Lemma 1.

tenglamaning yechimi |Reλ|≤K* , |y|˂Y da

ga teng bo’ladi.
Endi o’zgaruvchan koeffitsentli Z=Z(x) tenglamaning yechimlarini ko’rib chiqamiz

o’rniga qo’yish usuli bilan

ni hosil qilamiz. Bundan kelib chiqadiki


Tenglamalar z uchun keltirilyapti. 1 – lemmadagi U uchun tenglama isbotlandi.
Lemma 2. Agar 0≤x≤l k(x)≠0 da k(x) va m(x) funksiyalar chegaralanganva uzluksiz bo’lib |Reλ|≤k* bo’lsa , u holda z(x) tenglamaning yechimi

bo’ladi.
Bu holat tengsizlik bilan baholanadi :


bir jinsli tenglamalarni yechish quyidagi formula bilan ifodalanadi :
Boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan yechim yig’indisi sifatida bir xil bo’lmagan tenglamaning yechimini ifodalash va bir xil tenglamaning yechimiga shunday xulosa qilamiz

2– lemmani isbotlashda 0≤x≤l da k(x) ifodaning 0 ga teng bo’lmaganini , ammo k(x) funksiyaning musbatligidan foydalanilmadi. Bu holat esa quyidagi keying lemmaning isbotlanishini bildiradi
Lemma 3. Agar 0 ≤ x ≤l da , va larning kooffitsentlari chegaralangan va uzluksiz bo’lib va agar |Reλ|≤k* bo’lsa , u holda sistemaning yechimi


quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradi :

Bu yerda


O’zgarmas N kooffitsentlarning kattaliklariga bog’liq bo’lib , l kesmaning uzunligi ham K* ga bog’liq. Hosilaning kooffitsentlari ushbu baholashga kirmaydi.
Ikkita “bog’lanmagan “ tenglamalardan tashkil topgan tizimni ajratish yechimlari uchun isbotlangan tengsizliklar yechimlarining asimptotik tasvirini aniqlash uchun birinchi navbatda , biz zaif “ bog’lanish “ holatini ko’rib chiqamiz. Ya’ni dagi holatni.


“bog’lovchi” koeffitsentlar ning x dagi uzluksiz va chegaralangan deb hisoblanadi. Bunday sistemaning qandaydir yechimni hisobga olib,


belgilaymiz va ekanligidan foydalanib , 3 – lemma yordamida quyidagi tengsizlikka kelamiz :

uchun bo’lsin. U holda

bo’ladi. Aniqrog’i

ga teng bo’ladi. Keyinchalik

bo’ladi. Yana 3 – lemmani qo’llab , quyidagi baholashni olamiz :


Demak qoida isbotlandi.
Lemma 4. Agar 0 ≤ x ≤ l da larning koeffitsentlari uzluksiz va chegaralangan bo’lib , va agar |Reλ| ≤ K* bo’lsa , u holda λ moduli bo’yicha yetarlicha katta bo’lgan , ko’rsatilgan chiziqda yotgan tizimning yechimi


ushbu tengsizliklarni qanoatlantiradi


Bu yerda o’zgarmas Q faqatgina koeffitsentlari uchun bog’liqdir.
F esa quyidagicha aniqlanadi :

Quyida yana bir zaif bog’langan tizimlarning ko’rinishi keltirilgan :


larning koeffitsentlari haqida ularning uzluksiz va chegaralanganliklarini faraz qilish mumkin.
Agar biz ushbu tizimni modul bo’yicha yetarlicha katta λ uchun mumkin bo’lgan ga nisbatan qarasak ham quyidagi tenglikni olishimiz aniq :


Chegaralangan da) va uzluksiz x bo’yicha koeffitsentlari

ko’rinishda bo’ladi. Bu ifodalarni hosilalar uchun

ifodalarga almashtirib, va uchun ifodalarni biroz o’zgartirib, bu turdagi atamalardan xalos bo’lamiz. Shundan so’ng biz 4 – lemmani qo’llab va uning formulasi hosilalarining koeffitsentlarida 1/ tartibli bog’langan tizimlarga o’tishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. hosilakarning koeffitsentlarida 1/ tartibli bog’langan tizimlar uchun shunga o’xshash baholarni olish mumkin. bu yerda biz


Shaklidagi tizim bilan cheklanib qolishimiz kifoya qiladi. Shu bilan birga taxminiy konstantalar , koeffitsentlarning ba’zi birikmalarining hosilalarini ham o’z ichiga oladi. Sistemamizni matritsa shaklida yozamiz :

va quyidagi almashtirishni amalga oshiramiz :

x ga nisbatan hosilalari bilan birgalikda λ uchun chegaralangan deb qabul qilinadigan x koeffitsentlarida yetarlicha silliq bo’lgan
o’rinli.

ekanligi aniq. Shuning uchun uchun tenglamalar sistemasi quyidagicha yozilishi mumkin :

Ushbu sistemani chap tomondan yana quyidagi

matritsaga ko’paytiramiz va


bo’lgani uchun va

qiymatlarni qo’yish orqali birinchi hosilalar bilan 1/ tartibli bog’lanish bilan o’rganilgan zaif bog’langan tizimga tasvirlangan transformatsiyadan so’ng erishamiz. Ko’rinib turibdiki p(x) , q(x) , ning silliqligidan a(x) va b(x) ning silliqligi kuzatiladi. Shunday qilib, ma’lum baholashni qo’llab quyidagi ifodalarni hosil qilamiz :


Bu baholashlar 5 – lemmaning mazmunini tashkil qiladi.
XULOSA
Ushbu tadqiqod ishida matematik – fizika masalalari o’rganildi. Tadqiqod mavzusini o’rganish jarayonida bu sohaning asosiy tushunchalarini o’rganishdan boshlandi. Ishning ikkinchi qismida asosiy tushuncha va birinchi bo’limda o’rganilgan metodlaridan foydalangan holda giperbolik sistema uchun Fur’e usulini qo’llash hamda Laplas almashtirishlarini tadbiq etish o’rganildi asosiy bobida esa giperbolik tenglamalar sistemasi haqida haqida asosiy tushunchalar ,teoremalar hamda ulardan kelib chiqadigan natijalar o’rganildi va isbotlandi.
Ishning oxirgi bobida ko’rilgan masala tadqiqodning ilmiy yangiligini tashkil etib , u yerda konservativ giperbolik sistema uchun Fur’e qatori tadbiq qilinib, undan natijalar olindi hamda giperbolik sistema uchun Laplas almashtirishlari haqidagi teoremalar qo’llanilib o’rganildi.
Ushbu masalani matematik model sifatida bir qancha fizik , biologic jarayonlarni o’rganishda , balki jarayonning ba’zi xossa – xususiyatlarini aniqlashda foydalanish mumkin.