|
Ι bob. Giperbolik tenglamalar sistemasini o’rganishning nazariy asoslari
Giperbolik sistemalarni yechish uchun Fur’e usulida Laplas almashtirishining tadbiqi
Fur’e usulini asoslash uchun doimiy koeffitsentli oddiy differensial tenglamalar sistemasidan , Dyuamel integrali va Laplas almashtirishlarining qo’llanilishidan foydalanamiz.
Biz ikkita mustaqil o’zgaruvchiga( x , t ) ega giperbolik sistemalar uchun aralash masalalarga qo’llash misolida Fur’e usuli teoremasini o’rganamiz. Bu usul oddiy differensial tenglamalarni integrallash uchun Eylerning mashhur usulining yanada murakkab ko’rinishidir. Eylerning usuli
Tenglamani yechishdan iborat. Xususiy hollarda .
Xarakteristik tenglama bir nechta karrali ildizga ega.
Katta tartibli sistemalarda Fur’e usuli nazariyasi bir xil bo’ladi , ammo natijalar biroz boshqacha bo’lishi mumkin.
Laplas almashtirishlari asosida Fur’e usuli nazariyasini quramiz. Barcha xulosalarni yanada aniqroq qilish uchun oddiy differensial tenglamalar misolida qaraymiz.
Aytaylik , berilgan tenglamaning t vaqtga bog’liq bo’lmagan A matritsali yechimi bo’lib , u holda w(0) = 0 boshlang’ich shart tenglamani qanoatlantiruvchi tenglik bo’lsin. ushbu sistema bilan bir qatorda bir jinsli tizimning parametrga bog’liq yechimlarini ko’rib chiqamiz, bunda
Ya’ni ta’kidlanadiki ,
Haqiqatdan ham ,
tenglama bajarildi. w uchun w(0) = 0 shart aniq.
formula bir jinsli bo’lmagan tenglamani bir jinslilarni yechish orqali yechilishini ifodalovchi Dyuamel integrali deb ataladi.
Endi o’ng tomondagi ning maxsus holatini ko’rib chiqamiz ( ) . bir jinsli tenglamaning yechimi
bu esa ga bog’liq
Keyinchalik , biz U(t , 0) (argumentni nolga) teng tenglamaga tushirish va bir xil bo’lmagan masalaning w yechimini yozish orqali foydalanamiz , bunda
Bu integralga kiruvchi vektor – funksiyasi U(t) quyidagi tenglama va dastlabki shartlarni qanoatlantiradi :
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki , yechim odatda xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lgan ko’rsatkichining eksponensiallarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Masalan ,
Bu esa odatda ushbu tenglamaning bir nechta ildizlari mavjudligini anglatadi.
Yechimning ko’rsatkichli ko’rinishda ifodalanishidan , agar bo’lsa ,
integral yaqinlashadi.
(Masala. Agar ildizlar orasida karrali bo’lsa, bir xil farazlar uchun integralning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.)
Bu holatda “harakatlantiruvchi kuch” tizimni o’z “chastotasi” bilan silkitadi. V(λ) - t da tebranishlar amplitudasini anglatadi. Biz chastota so’zini qo’shtirnoq ichiga qo’yamiz , chunki w chastotasi tushunchasi qat’iy aytganda , faqat xayoliy λ=iw tengliklar uchun belgilanadi. Oddiylik va aniqlik uchun λ=iw ni faqat xayoliy deb taxmin qilinib , ˂-p˂0 ga teng deb qabul qilamiz. Keyin tengsizlik qanoatlantirilmasa , kerakli faktlarni qanday umumlashtirishni ko’rsatamiz. Shunday qilib , tizimning yechimini hisobga olgan holda
v(iw) – w chastotaning vector funksiyasi , sistemaning chastotasi va uni ifodalovchi integral U(t) ning Laplas konvertatsiyasi deb ataladi.
Juda oddiy maxsus misol sifatida faqat bitta tenglamadan iborat tizimni ko’rib chiqamiz.
Agar biz Re k ˂ 0 deb hisoblasak , u holda w uchun formulada ikkinchi qo’shiluvchi da nolga intiladi. funksiya chastotasi va uni integral sifatida hisoblash mumkin.
Laplas almashtirishlari bo’yicha quyidagi teorema bajariladi.
Teorema : U(t) funksiya da aniqlangan bo’lib , quyidagi tengsizliklarni qanoatlantirsin.
U holda da bo’ladi.
formula orqali Laplas almashtirishi ni aniqlaymiz.
oraliqda barcha uchun va teorema shartlarining tengsizliklarini qanoatlantiradigan barcha U(t) funksiyalar uchun bir xilda aniqlangan shakldagi doimiyni baholash talab etiladi. Bu teorema Laplas almashtirishlarining inversiyasi haqidagi mashhur teoremadan faqat formulaning tafsilotlari bilan farq qiladi. Bu yerda U(t) funksiyaga biroz kuchliroq cheklov qo’yiladi va integral uchun aniqroq asimptotika olinadi. Teoremaning isboti keying bobda keltiriladi. Hozircha oddiy differensial tenglamalar sistemasining
, v(iw) chastota xarakteristikalarini ko’rib chiqamiz. Ma’lum bo’lishicha , bu chastota xarakteristikasining har bir komponenti v(iw) ratsional funksiya bo’lib, iw xarakteristikasi tenglamani qanoatlantiruvchi k nuqtalarda qutblarga ega bo’ladi
Buni isbotlaymiz. U(t) Laplas konvertatsiyasi bilan bir qatorda
Laplasning AU(t) dan va dan o’zgarishini ham ko’rib chiqamiz :
Bundan
hosil bo’ladi.
Chunki u holda
chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantirib , agar berilgan xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa , yechilishi mumkin. haqidagi yuqoridagi gap shu sistemaning shaklidan kelib chiqadi. Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari oddiy bo’lsa aniqki
ko’rinishda bo’ladi.
Endi biz Laplas konvertatsiyasi (inersiya) teoremasidan foydalanib :
ekanligidan
Bu bizga
ekanligini anglatadi. b ixtiyoriy bo’lganligi sababli , biz tizimlarning
yechimi kombinatsiyalarining turli ko’rsatkichlarini olamiz. Shunday qilib , chastota xarakteristikalari haqidagi bilim bizga tabiiy chastotalarni toppish va vector koeffitsentlarini hisoblash imkonini beradi. Bu chastotalarda yechimning kengayishi , ya’ni A martirsaning xos vektorlari bo’ladi. Endi esa (1) munosabatni isbotlaymiz. Buning uchun Re k ˂ 0 bo’lgandagi
integralni ko’rib chiqamiz.
Kompleks tekislikda -b≤ω≤b segmentda ⋏=iω , |⋏|=b(Re⋏˂0) yarim doirani qaraymiz.
bunda , . Yetarlicha katta b uchun ⋏=k ning qutbi integratsiya konturi ichida yotadi va qoldiqga ega. Shuning uchun ,
bo’ladi. Yarim doira ustidagi integralni taxmin qilish uchun shuni e’tiborga olish lozim.
yetarlicha katta b ni tanlab ifoda yarim doira ichida deb faraz qilamiz. Shuning uchun ,
va biz uchun
ekanligini ko’rsatish qoladi. Bu yerda c = bt. Bu musbat integralni
shaklda ifodalaymiz. Chunki ga teng bo’ladi. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasida bu ko’pincha Jordan lemmasi deb ataladi.
Differensial tenglamalar uchun Fur’e usulini o’rganish quyidagi sxema bo’yicha amalga oshirildi. Dastlab Laplas almashtirishlari yordamida qisman differensial tenglamalar sistemasi yechimi tuziladi va analitik bo’lgan ushbu sistemaning chastotali javobi tuziladi. ⋏” chastota “ chastota parametrining funksiyalari hisoblanadi. Keyin bu chastota reaksiyasining analitik tabiati o’rganiladi. Uning qutblari aniqlanadi , Loran kengayishining asosiy qismlari aniqlanadi. Inersiya teoremasidan foydalangan holda , Laplas almashtirishlari kontur integrali bilan yaqinlashtiriladi , bu esa o’z navbatida qutblar ustidagi cheklangan yig’indi sifatida hisoblanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
