|
1.2.Giperbolik sistema uchun Laplas almashtirishlari haqida teorema
Laplas almashtirishlari haqidagi teoremani hosil qilish uchun dastlab uchta lemma va ulardan kelib chiqadigan natijalar juda muhim.
Teorema1 : bilan aniqlangan , U(t) funksiya quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsin :
va qo’shimcha tarzda : ,
u holda , bo’lganda , quyidagi tenglik bajariladi
Bunda , v( funksiya – U(t) funksiyaning Laplas konvertatsiyasi
doimiysi esa faqat p , , T , M , N(T) ga bog’liq bo’ladi
Teorema 2 : uchun
o’rinli bo’ladi.
Bu yerda
U(t) funksiyasining Laplas almashtirishi , doimiysi esa faqat K , , T , M , N(T) ga bog’liq bo’ladi.
Demak , ikkinchi teorema birinchi teoremadan kelib chiqyapti. Chunki U(t) funksiya 2- teorema shartlarini qanoatlantiryapti. U(t)= funksiyani kiritamiz. Shunda |
bo’lib p=a-k
Bilan ifodalanadi. U(t) funksiyaning qolgan ikkita tengsizlikni va 1 – teorema shartlarini qanoatlantirishini tekshiramiz. Bunda
|U’(t)|= |U’(t)-aU(t)|˂M(1+|a|) =M
Shunday qilib , U(t) funksiya 1 – teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun , agar
qo’ysak , quyidagi formula o’rinli bo’ladi.
Ushbu formulaga ⋏=iω , v(⋏)=v(a+iω)=v(iω) qo’yamiz. bo’lganligi uchun ifodasi yuqoridan ham chegaralanganligi sababli , ifodasi yuqoridan ham , quyidan ham chegaralanganligi sababli oxirgi formula 2 – teoremaning xulosasini bildiradi.
1 – teoremani isbotlashda Laplas almashtirishlaridan foydalanamiz. Biz trigonometrik integrallar uchun bir nechta lemmalardan boshlaymiz.
Lemma 1. t>0 , b>0 da quyidagi tenglik bajariladi
funksiya haqida yuqoridagi tengsizlikda uninguzluksiz hosilasi va chekli o’ng hosilasi bor deb faraz qilinadi. Lemmani isbotlash uchun quyidagi integralni qismlarga integrallash orqali almashtiramiz
Keyin olingan yig’indining shartlarini baholaymiz:
agar mavjud bo’lsa,
U holda yuqoridagi tengsizlikdan shunday xulosa chiqadi :
Ushbu oxirgi tengsizlik integralning yaqinlashuvini tekshirish uchun koshi mezoniga ekvivalentdir.
Shunday qilib bu integral yaqinlashadi. B da , tengsizlikning har ikki tomonida
sifatida chegaraga o’tsak , lemmaning tasdiqlanishiga erishamiz.
Lemma 1 ning birinchi natijasi
Haqiqatdan ham matematik analiz kursidan ma’lumki
ifoda hosil bo’ladi va 1-lemmadan ni olib quyidagi ifodani hosil qilamiz:
Endi shakllangan natija aniq bo’ldi.
Lemma 1 ning ikkinchi natijasi : agar t ≥0 bo’lsa ,
U holda ,
bo’lganda
ifoda qoldiqli hadi bilan
qoladi. Haqiqatdan ham , 1 – lemmaga binoan ,
Lemma 2. bo’lganda , |f( )|˂M , ga teng. U holda
ga teng bo’ladi.
Isbot :
Lemma 3. Agar bo’lsa ,
| ( |˂M , | ’( ≤M |
tengsizlik bajariladi. U holda ,
bo’ladi.
Isbot. f( funksiyani yasaymiz va |f( )|˂M , |f’( )|˂ ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham ,
f(
Bundan , f( kelib chiqadi. Keyinchalik :
ni hosil qilamiz. Shuning uchun
bo’ladi.
Endi 2 – lemmani qo’llaymiz :
Endi shuni ta’kidlash kerakki , 1 – sonli lemmaning 1 – natijasi bilan
ifodani hosil qilamiz. 3 – lemmaning isboti yakunlandi.
3 – lemmaning natijasi :
t≥ 0 bo’lganda
tengsizlik bajariladi. bo’lganda esa U’(t) funksiyaning uzluksizligi baholanadi.
U holda uchun quyidagi tengsizlik o’rinlidir :
Bu yerda qoldiqli had hisoblanib ,
ga teng.
( 3 – lemmaning natijasini hosil qilish uchun ifodani qo’shish kifoya)
Ushbu natijani 1 – lemmaning 2 – natijasi bilan birlashtirib ,ular uchun tuzilgan birga shartlarni qanoatlantiruvchi U(t) funksiyasi uchun
tenglikni olamiz. Bu yerda c faqat M , p , , T : c=c(M , p , . T) ga bog’liq , agar bo’lsa ( t o’zgaruvchini yetarlicha oshirsak , masalam O ga yaqinlashtirib , biz ushbu baholashda doimiy c ni oshiramiz)
Biz bu holda , qolgan ning bahosi , taxminlarini qanoatlantiradigan barcha U(t) funksiyalari uchun bir xil deb ataymiz.
va barcha t qat’iy kesmadan olinadi.
Matematik analiz kurslaridan ko’pincha isbotlanadiki , agar g( ) funksiya shunday bo’lsa , u holda
Ι. ga teng bo’ladi
ΙΙ. g( funksiyasi da uzluksiz va bu oraliqda cheklangan o’zgaruvchilarga ega bo’lsa , u chegara munosabatlarini qanoatlantiradi.
Agar ga qo’ysak , bu ifodadan ,
ga ega bo’lamiz.
U(t) funksiyaga yanada murakkabroq shartlar qo’yish orqali biz
da o’ng tomondagi integral funksiyadan ushbu ifodalarni qanoatlantiradigan barcha funksiyalar uchun bir xilda birlik tartibi qiymati bilan farq qilishini va barcha 1/b uchun U(t) funksiyadan farq qilishini ko’rsatishga muvaffaq bo’ldik.
Endi biz Laplas almashtirishlari teoremasini isbotlashga o’tishimiz mumkin
1 – Teoremaning isboti :
Ushbu teoremani isbotlash uchun
Oxirgi integral bir xilda yaqinlashadi va shuning uchun integratsiya tartibini o’zgartirishga yordam beradi :
ichki integralni
bilan hisoblash mumkin. Va nihoyat
Teoremaning isboti yakunlandi. Laplas almashtirishlarini tadbiq qilish qoidalari isbotlandi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
