Мавзу -3: Математика ўқитишда тафаккур услублари ва шакллари. Асосий саволлар

Зарур ва етарли шартларни ҳам ўрганиш талаб этилади. Умуман олганда, р мулоҳаза учун х учун етарли шарт бўлади, агар хр импликация рост натижа берса, р мулоҳаза х учун етарли шарт бўлади, агар рх импликация рост бўлса. Масалан, натурал сон 6 га бўлиниши учун у жуфт бўлиши зарур, лекин етарли эмас, натурал сон жуфт бўлиши учун у 6 га бўлиниши етарли.Натурал сон 2 га бўлиниши учун у жуфт бўлиши зарур ва етарли.
Зарур ва етарли шартлар: р шарт учун зарур ва етарли шарт бўлади, агар бир вақтнинг ўзида хр ва рх импликациялар рост бўлиши керак.
Тушунча остига киритиш. У ёки бу объект ёки муносабат берилган тушунча ҳажмидан иборат объектлар ёки муносабатлар тўпламига мос равишда тегишлилигини исботлаш фаолияти тушунча остига киритиш дейилади.
Мактабда ўқувчиларнинг математик тафаккурини ривожлантиришда исботлашга доир масалаларни ечиш муҳимдир. Айниқса, алгебра дарсларида бундай масалаларни ечишга ўргатиш учун етарли имкониятлар мавжуд. Кўп қўлланиладиган тескарисидан фараз қилиш, математик индукция усулларидан ташқари ўқувчиларга баъзи ўзига хос усулларни ҳам ўргатиш уларнинг математик фикрлаш фаолиятларини ривожлантиришга ижобий таъсир кўрсатади. Ана шундай усулларни 7-9-синф алгебра дарсларида фойдаланиш жиҳатларига тўхталиб ўтамиз.
1. Контрапозиция бўйича исботлаш. Бу усулда А В мулоҳазани исбот-лаш ўрнига В га қарама-қарши мулоҳазани рост деб фараз қилиб, А га қарама-қарши мулоҳазанинг ҳақиқатлигини келтириб чиқаришга ҳаракат қилинади. Мазкур усул бевосита исботлаш анча мураккаб бўлган ҳолда қўлланиб, дастлаб ўқувчиларга А В мулоҳазадан мулоҳазани туза олиш, сўнгра эса исботлаш усулини тадқиқ этишга ўргатилади. Масалан, қисқа кўпайтириш формулаларини ўрганишда: агар 9а²-12ас +2в<0 бўлса, у ҳолда b ≤ 5с² ўринли бўлишини исботлаш ўрнига, “агар b > 2c² бўлса, тенгсизлик ўринли бўлишини исботлаш осон эканлигини кўрсатиш мумкин:

2. Контрмисол ва тасдиқловчи мисол келтириш усуллари. Контрмисол сифатида мулоҳазалар тенг кучлилигини ҳисобга олиб, xX,P(x) мулоҳаза ёлғонлигини кўрсатиш учун Х соҳадаги шундай х қийматни топиш керакки, унинг учун P хосса бажарилмаслигини кўрсатиш етарли. Масалан, “Тенгсизликлар” мавзусини ўрганишда “ c>1/c бўлса, с>1 бўлиши тўғрими” мулоҳазасига контрмисол сифатида с=-0,5 ни олиш мумкин, чунки –0,5>1/-0,5=-2 бўлса, у ҳолда с=-0,5<1 бўлади. “Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш” мавзусини ўрганишда “n³+5n-1 ифоданинг қиймати ихтиёрий натурал n да туб сон бўлиши тўғрими” мулохазаси учун n=6 контрмисол бўлади ва ҳ.к.
Тасдиқловчи мисол усулида xx) мулоҳаза ростлигини исботлаш учун Х соҳада ҳеч бўлмаганда битта х қийматни топиш керакки унинг учун Р хосса бажарилиши кўрсатилади. Масалан, “Натурал кўрсаткичли даража” мавзусини ўрганишда “ х⁵+у⁵=33⁶ тенгликни қаноатлантирувчи х ва у натурал сонлар мавжудми?” машқи учун тасдиқловчи мисол х=66, у=33 қийматлар ҳисобланади. Ёки бунга ўхшаш =xy тенгликни қаноатлантирувчи х ва у сонлар мавжудми?” (тасдиқловчи мисол: х=1, у=1), “|a-b|=|a|-|b| тенглик айният бўладими?” (контрмисол: а=3, в=-4) ва ҳоказо.
Бу усулни қўллашда ўқитувчи асосий эътиборни исботлаш талаб этилаётган машқлар талабида “тўғрими?”, “мавжудми?”, “мумкинми?” деган саволларнинг борлигига ҳамда берилган шартда иккита А ёки тасдиқлардан бирортасининг ҳақиқатлигини кўрсатиш зарурлигига қаратиш лозим.
3. Анализ ва синтезнинг турли хусусий кўринишларидан фойдаланиш усули. Бундай усулларга алгебра дарсларида: а) касрнинг бутун қисмини ажратиш; б) бутун қисмларга ажратиш (анализ); в) бутун қисмлар бўйича қайта тузиш (синтез); г) уларнинг комбинациясидан иборат усул (анализ ва синтез) лар киради.
Биринчи усул асосан “Алгебраик касрлар” ва “Рационал тенгламалар” мавзуларини ўрганишда ифодаларни айний шакл алмаштириш ёки тенгламалар ечимларини топиш учун қўлланилади. Масалан, у=(х²-5)/(х² +1) касрнинг энг кичик қийматини топишда бу ифоданинг бутун қисми ажратилиб у=1-6/х² +1нинг х=0 даги у=-5 га тенг қиймати эканлиги келтириб чиқарилади. Бундан кейинчалик функциялар энг кичик ва энг катта қийматларини топишда, функция қийматлар соҳасини топишда ёки функциянинг ўсувчи ёки камаювчилигини исботлашда ҳам кенг қўлланилади. Масалан, у=х/x+1 функциянинг х>-1 да ўсувчи эканлигини исботлаш учун уни у=1-1/x+1 кўринишга келтириб, исботланади. Иккинчи усулда ифода қисмларга ажратиб тадқиқ этилади. Масалан, “а³+3а³+8а ифода ихтиёрий натурал а да 6 га бўлинишини исботлаш учун (а³+3а²+2а)+ва=а(а+1)(а+2)+ва кўринишга келтирилиб, мулоҳаза исботланади. Учинчи усулда бутуннинг қисмлари қайта тузилиб, янги кўринишга келтирилади. Масалан, 9х²-2ух+6 ифоданинг ҳамма вақт мусбат эканлигини кўрсатиш учун “тўлиқ квадрат ажратилиб” (3х-4)²+47>0 эканлиги исботланади. Ва ниҳоят, тўртинчи усулда ифода олдин қисмларга ажратилиб, сўнгра уларни тузиш амалга оширилади. Масалан, а>0, в>0, с>0 бўлса,
ав(а+в-2с)+вс(в+с-2с)+ас(а+с-2в)>0
эканлигини исботлашда
в²с-2авс+а²с+ав²-2авс+ас²+а²в-2авс+вс²=с(в²-2ав+а²)+а(в²-2вс+с²)+в(а²-2ас+с²)= =с(а-в)²+а(в-с)²+в(а-с)² 0
дан фойдаланиш мумкин.
4. Барча хусусий ҳолларни қараб чиқиш усули. Бу усулда мулоҳазага тегишли барча хусусий ҳоллар қаралиб, қарама-қаршиликка ёки тўғри мулоҳазага келиш амалга оширилади. Масалан, сонларнинг иррационаллигини исботлашда бўлиниш аломатидан фойдаланиб қуйидаги масалани ечиш мумкин.
1-масала. А= - бунда к-бутун сон кўринишидаги соннинг иррационаллигини исботланг.
Исбот. Ҳар қандай бутун сон 5 га бўлинганда, фақат 0,1,2,3,4 қолдиқлар бергани учун бутун соннинг квадрати фақат 0,1 ва 4 қолдиқларни беради. Шунинг учун а ва а² нинг туб кўпайтувчилари ёйилмасида қандайдир р кўпайтувчи тоқ даража билан киради. Лекин а=mn-қисқармас рационал сон бўлсин, у ҳолда m²=a²n² ва m:p, n:p қарама-қаршилик.
Яна шунга ўхшаш қуйидаги масалани ечишда ҳам бирор хусусий ҳол қаралиб, кейин қарама-қаршилик ҳосил қилишдан фойдаланилади.
2-масала. 0,12345.. (барча сонлар тартиб билан ёзилган) соннинг иррационаллигини исботланг.
Исбот. Фараз қилайлик, бу даврий каср даври n та белгидан иборат бўлсин. Лекин бу касрда қаторасига 2n+1 та нолга жой топилади. Бу оралиқда бутун бир давр жойлашиши лозим, яъни бутун бир давр жойлашади, яъни давр ноллардан ташкил топган, лекин бу ундай эмас, қарама-қаршиликка келдик.
Алгебра дарсларида айниқса тенгсизликларни исботлаш усулларига ўргатиш муҳимдир. Бунда қуйидаги усулларни қўллашни ўргатиш зарур:
1. Икки сон ўрта арифметиги ва ўрта геометриги орасидаги тенгсизликдан фойдаланиш усули, яъни тенгсизликдан фойдаланиб исботлаш. Аввало ўқувчиларга унинг содда кўринишларини исботлашни таклиф этиш мумкин:
1. ; 2. ; 3. ;4.
Шундан сўнг, қуйидаги кўринишдаги тенгсизликларни исботлашга ўтиш мумкин:
Агар - мусбат сонлар бўлса,

тенгсизлик ўринли бўлишини исботланг.
Буни исботлаш икки марта асосий тенгсизликни қўллаш орқали амалга оширилади.
2. Ҳарфий ифодани йиғинди ёки айирма шаклида тасвирлаш усули. Бунда қулай шакл алмаштиришлар ёрдамида ифодани ҳадларини 1 ёки 0 билан осон таққослаш мумкин бўлган кўринишга келтирилади.
Мисол. х ихтиёрий сон бўлганда

тенгсизликни исботлашда унинг биринчи ва тўртинчи, иккинчи ва учинчи ҳадларни алоҳида кўпайтириб, тенгсизликнинг

исботини олиш мумкин.
3. Ҳарфий ифодаларни кўпайтувчиларга ажратиш усули, бунда агар ўсувчи функция ва а, в бу функция аниқланиш соҳасига тегишли сонлар бўлса, у ҳолда ( тенгсизлик ўринли бўлишидан фойдаланилади. Масалан, мусбат х ва у сонлар учун

тенгсизликни исботлашда белгилашларни киритиб, юқоридаги қоидадан фойдаланамиз.
4. Даражани ўз ичига олган сонли ифодаларни айний шакл алмаштириш усули, бу асосан даражага боғлиқ ифодаларни катта ёки кичиклигини аниқлашга доир масалаларни ечишда қўлланилади. Бунга доир қуйидаги машқлардан фойдаланиш мумкин:
Таққосланг: қайси катта 7⁹² ми ёки 8⁹¹ , 2⁴⁰ ми ёки 3³⁷ ?
5. Математик индукция принципи асосида исботлаш усули натурал сонлар ва уларнинг йигиндилари билан боғлиқ кўп тенгсизликларни исботлашда қўлланилади.Бунда ўқувчиларга ҳар бир қадамнинг асосланиши ҳамда унинг турли хил кўринишларини ҳисобга олган ҳолда исботлашга ўргатиш мақсадга мувофиқ.
Масалан, агар иккита натурал сонлар кетма-кетлиги берилган бўлиб, бирор натурал сон m учун ўринли бўлиб, барча лар учун бўлса, у ҳолда барча n>m лар учун ўринлилигидан фойдаланиб, тенгсизликларни исботлаш мумкин . Масалан, n да тенгсизликни шу усул билан исбот-лаш мумкин.
Худди шунга ўхшаш , бирор натурал сон m учун ўринли бўлиб, барча лар учун бўлса, у ҳолда барча n>m лар учун ўринли бўлишидан эса 1) n да ; 2) (n ; 3) тенгсизликларни исботлаш имконияти вужудга келади.
Шундай қилиб, мактабда алгебра дарсларида ўқувчиларга исботлаш усулларини ўргатишда хар хил усуллар тадбиқларини мисолларни муҳокама қилиш орқали амалга оширилиши яхши натижалар беради. Бунда университетлар талабаларини услубий тайёргарлигини амалга оширишда ҳам бунга алохида эътибор бериш талаб этилади ва амалий машғулотларда ҳамда педагогик амалиётда қўллаш усулларига бўлажак ўқитувчиларни ўргатиб бориш мақсадга мувофиқ.
Асосий адабиётлар
1. Алиханов С. Математика ўқитиш методикаси. – Т:Ўқитувчи, 1993 й.
2. Методика преподавания математики. Общая методика. М:Просвещение, 1985 г.
3. Методика преподавания математики. Общая методика. Ю.М.Колягин и др. – М: 1975 г.
4. Методика преподавания геометрии. Планиметрия.. –М, 1967 г.
5. Методика преподавания математики. Частная методика. Под ред. В.И.Мишина.- М:Просвещение, 1987 г.
6. Методика преподавания математики. Частная методика. Ю.М.Колягин и др. – М.1977 г.