Matritsalar va ular ustida amallar



Download 62,09 Kb.
bet3/4
Sana01.01.2022
Hajmi62,09 Kb.
#289887
1   2   3   4
Bog'liq
Matritsalar va ular ustida amallar111

Diagonal matritsa diagonal elеmеntlaridan boshqa barcha elеmеntlari nolga tеng bo‘lgan ( аіј =0, іj ) kvadrat matritsadir.

Diagonal matritsaning diagonal elementlari nolga ham teng bo‘lishi mumkin.

Masalan,

diagonal matritsalar bo‘ladi.

Barcha diagonal elеmеntlari аіi =1 bo‘lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa yoki qisqacha birlik matritsadir

Odatda n-tartibli birlik matritsa En yoki qisqacha E kabi belgilanadi. Masalan,



,

mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.



Barcha elеmеntlari nolga tеng (аі ј =0) bo‘lgan ixtiyoriy m×n tartibli matritsa nol matritsa deyiladi.

m×n tartibli nol matritsa О m×n yoki qisqacha О kabi belgilanadi. Masalan,

O2×3 = , O3×2 = , O3×3 = O3 =

ko‘rsatilgan tartibli nol matritsalar bo‘ladi.

Matritsalar ustida amallar.

Endi matritsalar ustida algebraik amallar kiritib, matritsalar algebrasini hosil etamiz.

Ixtiyoriy tartibli Аm×n =(аij) matritsaning istalgan  songa ko‘paytmasi dеb Cm×n ={ аij} kabi aniqlanadigan matritsaga aytiladi.

Bunda A matritsaning  songa ko‘paytmasi A deb belgilanadi. Masalan,



.

Bir xil tartibli Аm×n =(аij) va Bm×n =(bij) matritsalar yig‘indisi dеb elеmеntlari сij = аij + bij kabi aniqlanadigan Cm×n =(cij) matritsaga aytiladi.

Bunda A va B matritsalarning yig‘indisi A+B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini qo‘shish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun



.

Matritsalarni songa ko‘paytirish va o‘zaro qo‘shish amallari quyidagi qonunlarga bo‘ysunishi bevosita ularning ta’riflaridan kelib chiqadi:

I. A+B=B+A (qo‘shish uchun kommutativlik qonuni);

II. А+(В+С) = (А+В) (qo‘shish uchun assotsiativlik qonuni);

III.  (А+В) = А + В , (  +  )А = А + А (distrubutivlik qonuni)

Bundan tashqari yuqoridagi ta’riflar orqali bu amallar ushbu xossalarga ham ega bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas:

А + О = А , А+А =2А, 0  А = О ,   О = О.

Bir xil tartibli Аm×n =(аij) va Bm×n =(bij) matritsalar ayirmasi dеb Аm×n va (–1) Bm×n matritsalarning yig‘indisiga, ya’ni Аm×n+(–1)Bm×n matritsaga aytiladi.

Bunda A va B matritsalarning ayirmasi AB ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini o‘zaro ayirish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun



.

Аm×р=(aij) Вp×n=(bij) matritsalarning ko‘paytmasi dеb shunday Сm×n=(cij) matritsaga aytiladiki, uning cij elеmеntlari ushbu

yig‘indilar kabi aniqlanadi.

Shunday qilib, Аm×р=(aij) Вq×n=(bij) matritsalar uchun p=q, ya’ni A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgandagina ularning ko‘paytmasi mavjud bo‘ladi va AB kabi belgilanadi. Bunda AB=Сm×n=(cij) matritsaning satrlar soni m birinchi A ko‘paytuvchi matritsa, ustunlar soni n esa ikkinchi B ko‘paytuvchi matritsa orqali aniqlanadi. Bundan tashqari AB=Сm×n=(cij) ko‘paytma matritsaning cij elеmеnti A matritsaning i – satr elеmеntlarini B matritsaning j-ustunidagi mos elеmеntlariga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish orqali hisoblanadi. Bu “satrni ustunga ko‘paytirish” qoidasi deb aytiladi. Masalan,

matritsalar uchun m=3, p=q=2, n = 2 bo‘lgani uchun ularning ko‘paytirish mumkin va ko‘paytma matritsa АВ=С3х2 quyidagicha bo‘ladi:



.

Matritsalar ko‘paytmasi uchun АВВА, ya’ni kommutativlik qonuni o‘rinli

bo‘lmaydi. Masalan, Аm×qВq×n=Cm×n ko‘paytma mavjud, ammo Вq×n Аm×q ko‘paytma har doim ham mavjud emas va mavjud bo‘lgan taqdirda, ya’ni n=m holda ham ular teng bo‘lishi shart emas. Masalan,



matritsalar uchun АВВА, chunki



.

Matritsalar ko‘paytmasi va yig‘indisi quyidagi qonunlarga bo‘ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo‘ladi:

I. А(ВС)=(АВ)С , (А)В=А(В) (ko‘paytirish uchun assotsiativlik qonuni);

II. А(В+С) = АВ + АС (ko‘paytirish va qo‘shish amallari

(А+В)С = АС + ВС uchun distributivlik qonunlari);

III. АЕ = ЕА = А , О·А = О, A·O = О , 0·A= О .

Bunda E va О mos ravishda tegishli tartibli birlik va nol matritsalarni ifodalaydi.

Matritsa ko‘paytmasi ta’rifidan ko‘rinadiki, har qanday n-tartibli A kvadrat matritsani o‘ziga–o‘zini ko‘paytirish mumkin va natijada yana n-tartibli kvadrat matritsa hosil bo‘ladi.



A kvadrat matritsani o‘zaro m marta (m – birdan katta ixtiyoriy natural son) ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan kvadrat matritsa A matritsaning m- darajasi deyiladi.

A matritsaning m- darajasi Am kabi belgilanadi. Bunda A0=E va A1=A deb olinib, Am daraja ixtiyoriy nomanfiy butun m soni uchun aniqlanadi. Bu holda Am daraja

ta’rifdan uning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi (m,k-natural sonlar, λ-haqiqiy son):



Shunday qilib, har qanday kvadrat matritsa uchun natural darajaga ko‘tarish amalini kiritish mumkin ekan. Masalan,



Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, 5-xossaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni Am=О tenglikdan har doim ham A=О ekanligi kelib chiqmaydi. Masalan,



Kelgusida matritsani darajaga ko‘tarish amalini ixtiyoriy m butun son uchun umumlashtiramiz.



B=(bij) matritsa A=(aij) matritsaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarida aij=bji shart bajarilsa.

A matritsaning transponirlangani AT kabi belgilanadi. Agar A matritsa m×n tartibli bo‘lsa, uning transponirlangani AT n×m tartibli bo‘ladi.Masalan,

Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi va u quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatish mumkin:

1. (AT)T=A ; 2. (λA)TAT (λ– ixtiyoriy haqiqiy son);

3. (A±B)T= AT±BT ; 4. (A·B)T= BT·AT .

Agar A kvadrat matritsa uchun AT=A bo‘lsa, u simmetrik matritsa, AT= –A bo‘lganda esa kososimmetrik matritsa dir.

Ta’rifdan har qanday simmetrik matritsaning elementlari aij= aji , kososimmetrik matritsaning elementlari esa aij=– aji shartni qanoatlantirishi bevosita kelib chiqadi. Bundan kososimmetrik matritsaning barcha diagonal elementlari nolga teng bo‘lishi kelib chiqadi.

Masalan,

matritsalardan A simmetrik, B kososimmetrik bo‘ladi.



Matritsalarning iqtisodiy tadbiqlari.


Download 62,09 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish