Matritsalar. Matritsalarning turlari

Matritsalar. Matritsalarning turlari

Nxn ko’rinishdagi matritsa deb sonlarni tugun burchakli tablitsa ko’rinishiga aytladiki, bunda sonlar m qator va n usunlar shaklida yoziladi, aij -A matritsaning elementlari, aij-i-qatorning va j-ustunning kesishgan joyiga aytiladi.

Misol: А=

Matritsani yozish uchun quyidagi belgilardan foydalanish mumkin: A, [a_ij]

Matritsa mxn agar m=n bo’lsa kvadrat matritsa deyiladi, m=n bo’lmasa to’g’ri burchakli matritsa deyiladi.

Matritsa A^T berilgan A matritsaga nisbatan transponirlangan deyiladi, agar matritsa A elementlari a_ij matritsa AT elementlariga a_ij barcha i va j larda teng bo’lsa:

Agar А= , А^Т= .

Ikki bir xil razmerdagi A va V matritsalar teng hisoblanadi, ya'ni A=V agar ular elementlari teng bo’lsa ya'ni a_ij=b_ij

Matritsaning maxsus turlari. Barcha elementlari nolga teng matritsa nul matritsa deyiladi va O simvoli yoki (0) ko’rinishda belgilanadi.

Bosh diagnol elementlarigina nuldan farqli kvadrat matritsalar diagonal matritsalar deyiladi va quyidagicha tasvirlanadi.

С=
Ya'ni S=diag C=[b_ij c₁] . Bu yerda bij Kronekker belgisi.

Agar diagnol matritsaning barcha elementlari birga teng bo’lsa ya'ni c₁=1 unday matritsa birlik matritsa deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

Matritsa- qator yoki vektor -qator-bu razmeri 1 x m bo’lgan matritsa bo’lib bir qator va m ustundan iborat bo’ladi. qator

Matritsa-ustun yoki vektor-ustun -bu razmeri n x 1 bo’lgan matritsa bo’lib n qator va bir ustundan iborat bo’ladi.

a_ij=a_ji shart bajarilgan matritsalar simmetrik matritsalar deyiladi.

Matritsa ustida amallar

Qo’shish. Ikki A va V matritsalarning tsigindisi shunday holda aniqlanadilarki, bunda ikkala matritsa ham bir xil razmerga ega bo’ladilar. Yig’indi matritsaning elementlari ko’shilayotgan matritsalarning mos elementlarining Yig’indisi ko’rinishda aniqlanadilar ya'ni:

S=A+V: s_ij=a_ij+b_ij.

Yig’indini aniqlashda quyidagi xossalar kelib chiqadi:

1) A+V 2)A+(V+S)=(A+V)+S

A matritsaning k songa ko’paytmasi shunday matritsaki - k*A, u matritsaning elementlari quyidagi ko’rinishda aniqlanadi s_ij=k*a_ij

Matritsani songa ko’paytirish va qo’shish distributivdir:

k(A+V)=k*A+k*V, (k+1)*A=k*A+1*A.

va kommo’tativdir k*1*A=1*k*A.

Matritsalarni songa qo’shish va ko’paytirish amallari barcha qo’shish amaliga matritsalarni farqi tushunchasini kiritish imkonini beradi.

Barcha A qo’shish amaliga teskari amal –A va u quyidagicha aniqlanadi: A=(-1)A.

Ikki matritsa A va V orasidagi farq quyidagicha yoziladi: S=A-V.

Matritsalarni ko’paytirish. Ikki matritsa A va Ularning ko’paytmasi shunda va faqat shunda aniqlanadiki, bunda A matritsaning ustunlar soni V matritsaning katrolar soniga teng bo’ladi. Agar matritsa A ning razmeri m*p bo’lsa va matritsa V ning razmeri p*n bo’lsa, u holda matritsa S=A x V razmeri m*n ko’rinishda bo’ladi va uning elementlari sij quyidagi formuladan aniqlanadi:

,

va quyidagi q o i d a bo’yicha aniqlanadi: s_ij elementni olish uchun A matritsaning i qatori elementlarini mos ravishda V matritsa j ustun elementlariga ko’paytiriladi va hosil qilingan ko’paytmalar qushiladi.

Umumiy holda matritsalarni ko’paytirish kommo’tativ emas, ya'ni A*VV*A. yana shu yerda, agar A x V=V x A bo’lsa matritsalar A va V ko’paytuvchan deyiladi.

Isbotsiz ravishda matritsalarni ko’paytirish xossalarini keltiramiz:

1. 
   A x 0=0 x A=0
   
2. 
   A x YE=YE x A=A
   
3. 
   (A+V)x S=A*S+V*S
   
4. 
   A*(V+S)=A x V+A x S
   
5. 
   (A*V)S=A(V x S)
   
6. 
   (AT x VT )= VT*A
   

Berilgan kvadrat matritsaga teskari deb shunday matritsaga aytiladiki, bunda teskari matritsa xuddi berilgan matritsa bilan bir xil razmerda bo’ladi va quyidagi shartni kanoatlantiradi.:

A x A^-1=A^-1 x A=YE

Teskari matritsa A^-1 ko’rinishda bo’ladi. Barcha matritsalar ham teskari matritsa bulavermaydi. Teskari matritsaga ega bo’lish imkoniyati matritsaning harakteristikasi – aniqlovchi bilan harakterlanadi.

7-variant

Tizimlar nazariyasi asoslari 5 – amaliy ish topshiriqlari.
I. , , мatritsalar bеrilgan, quyidagi amallarni bajaring.

7.

II. Matritsalar ustida amallar bajaring.

7.