Matritsa rangi. Teskari matritsa Reja

Matritsa rangi. Teskari matritsa

Reja

Matritsa rangi va uning xossalari. Vektorlar sistemasining rangi. Xos va xosmas matritsalar. Bazis minor tushunchasi.

I xtiyoriy oʻlchamli matritsaning bir necha satr yoki ustunlarini oʻchirishdan hosil boʻlgan kvadrat matritsa determinantiga matritsa osti minori deyiladi. Bu kvadrat matritsa tartibi matritsa osti minorning tartibi deyiladi. Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda boʻlsa, uning eng katta tartibli minori oʻziga teng. Masalan,

m atritsaning 1-satr va 1-ustunini oʻchirishdan 2-tartibli minor

2 -satr va 3-ustunini oʻchirishdan 2-tartibli minor

va hokazo minorlarni hosil qilish mumkin.

1-ta’rif. A matritsaning rangi, deb noldan farqli matritsa osti minorlarining eng katta tartibiga aytiladi va rang A r A    ( ) koʻrinishida ifodalanadi.

M atritsa rangining xossalari: 1) agar A matritsa m n oʻlchovli boʻlsa, u holda rangA m n  min ; ;   2) A matritsaning barcha elementlari nolga teng boʻlsa, u holda 0; rangA  3) agar A matritsa n -tartibli kvadrat matritsa va A  0 boʻlsa, u holda rangA=n .

1-misol matritsa rangini aniqlang.

Yechish. Berilgan matritsa 3 2   oʻlchamli boʻlgani uchun satrlar va ustunlar sonini taqqoslaymiz va kichigini, ya’ni 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz va ularning qiymatini hisoblaymiz. Bu jarayonni noldan farqli ikkinchi tartibli minor topilguncha davom ettiramiz:

Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi. Demak, ta’rifga binoan, A matritsa rangi 2 ga teng, ya’ni rang (A  2.

Matritsa rangi uning ustida quyidagi almashtirishlar bajarganda oʻzgarmaydi:

1. matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa koʻpaytirganda;

2. matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirilganda;

3. matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshganda;

4. barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborganda;

5. matritsa transponirlanganda.

Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi.

M asalan,

matritsada birinchi satrni 2 ga va ikkinchi satrni 3 ga koʻpaytirib, birinchini ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni 5 ga, uchunchi satrni 3 ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak,

matritsa hosil boʻladi.

Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi satrni uchunchi satrga qoʻshsak,

m atritsa hosil boʻladi. Yana

matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,

hosil boʻladi.

A va B matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan iborat: m satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin birinchi va uchinchi satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va m -satrlarni shunday sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi satrdan boshlab birinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida keyingi hamma satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, ikkinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab uchinchi ustun elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom ettiriladi.

Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan boʻlsa, u holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma elementlari nollarga (ya’ni bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.

Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng boʻladi, chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.

Yuqorida qoʻllaniladigan almashtirishlar matritsani elementar almashtirishlardan iborat boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.