Matritsa haqida Matritsaviy eksponenta

Iordaniya kanonik shaklidan foydalanish

Agar maydon bo'lsa, chambarchas bog'liq usul algebraik yopiq, bilan ishlash Iordaniya formasi ning X. Aytaylik X = PJP ⁻¹ qayerda J ning Iordaniya shakli X. Keyin







Perpendikulyar birlik vektorlari bo'lgan oddiy aylanish uchun a va b samolyotni belgilang,  aylanish matritsasi R ni o'z ichiga olgan shunga o'xshash eksponent funktsiya bilan ifodalanishi mumkin generator G va burchak θ.

Quvvatlarini kamaytirish natijasida eksponent natijalar formulasi G ketma-ket kengayishida va tegishli qator koeffitsientlarini aniqlashda G² va G bilan Oscos (θ) va gunoh (θ) navbati bilan. Bu erda ikkinchi ifoda e^Gθ uchun ifoda bilan bir xil R(θ) ning hosilasini o'z ichiga olgan maqolada generator, R(θ) = e^Gθ.

tekislikda aylanish uchun standart matritsaga kamaytiradi.

Matritsa P = −G² loyihalar ustiga vektor ab- samolyot va aylanish faqat vektorning ushbu qismiga ta'sir qiladi. Buni ko'rsatadigan misol - ning aylanishi 30 ° = π / 6 tomonidan uzatilgan samolyotda a va b,

Buni isbotlash uchun yuqoridagi ikkita tenglikning birinchisini quyidagiga ko'paytiring P(z) va almashtiring z tomonidan A.

Bunday polinom Q_t(z) quyidagicha topish mumkin −− qarang Silvestr formulasi. Ruxsat berish a ning ildizi bo'ling P, Q_da(z) mahsulotidan hal qilinadi P tomonidan asosiy qism ning Loran seriyasi ning f da a: Bu tegishli bilan mutanosib Frobenius kovariant. Keyin summa S_t ning Q_da, qayerda a ning barcha ildizlari bo'ylab ishlaydi P, alohida sifatida qabul qilinishi mumkin Q_t.

Qolganlari Q_t ga ko'paytma qo'shib olinadi P ga S_t(z). Jumladan, S_t(z), Lagranj-Silvestr polinomi, yagona Q_t uning darajasi undan past bo'lgan P.

Misol: O'zboshimchalik bilan 2 dan 2 gacha bo'lgan matritsani ko'rib chiqing,

matritsa eksponensiali ikkita tegishli bo'lakning eksponentlarini oddiy hosilasiga kamaytiradi. Bu fizikada tez-tez ishlatiladigan formuladir, chunki uning analogiga teng Eyler formulasi uchun Pauli yigiruv matritsalari, bu guruhning dublet vakili aylanishlari SU (2).

Xususan, P sodda va "interpolatsiya"xarakteristikasi shundan dalolat beradi S_t tomonidan berilgan Lagranj interpolatsiyasi formula, demak u Lagrange − Silvester polinomi .

Boshqa tomondan, agar P = (z - a)ⁿ, keyin

Yuqoridagilarni amaliy, tezkor hisoblash quyidagi tezkor qadamlarni qisqartiradi: yuqoridan eslang an n × n matritsa exp (tA) birinchisining chiziqli birikmasiga teng 1 kuch A tomonidan Keyli-Gemilton teoremasi. Uchun diagonalizatsiya qilinadigan matritsalar, yuqorida ko'rsatilganidek, masalan. 2 × 2 holatda, Silvestr formulasi hosil exp (tA) = B_a exp (a) + B_β exp (tβ), qaerda Blar Frobenius kovariantlari ning A.

Polinom S_t quyidagilar ham berilishi mumkin "interpolatsiya"xarakteristikasi. Ta'riflang e_t(z) ≡ e^tzva n . Deg P. Keyin S_t(z) noyob darajadir < n qondiradigan polinom S_t^(k)(a) = e_t^(k)(a) har doim k ning ko'pligidan kichik a ning ildizi sifatida P. Biz aniq, deb o'ylaymiz, deb o'ylaymiz P bo'ladi minimal polinom ning A. Biz bundan keyin ham taxmin qilamiz A a diagonalizatsiya qilinadigan matritsa.

Xususan, P sodda va "interpolatsiya"xarakteristikasi shundan dalolat beradi S_t tomonidan berilgan Lagranj interpolatsiyasi formula, demak u Lagrange − Silvester polinomi .

Boshqa tomondan, agar P = (z - a)ⁿ, keyin

Yuqoridagilarni amaliy, tezkor hisoblash quyidagi tezkor qadamlarni qisqartiradi: yuqoridan eslang an n × n matritsa exp (tA) birinchisining chiziqli birikmasiga teng 1 kuch A tomonidan Keyli-Gemilton teoremasi. Uchun diagonalizatsiya qilinadigan matritsalar, yuqorida ko'rsatilganidek, masalan. 2 × 2 holatda, Silvestr formulasi hosil exp (tA) = B_a exp (a) + B_β exp (tβ), qaerda Blar Frobenius kovariantlari ning A.

Ammo bularni hal qilish eng oson Bs to'g'ridan-to'g'ri, ushbu ifodani va uning birinchi hosilasini baholash orqali t = 0, nuqtai nazaridan A va Men, yuqoridagi javobni topish uchun.

Ammo bu oddiy protsedura ham ishlaydi nuqsonli matritsalar, Byuxgeym tufayli umumlashmada.  Bu matritsaning 4 × 4 misoli uchun bu erda ko'rsatilgan diagonalizatsiya qilinmaydi, va Blar proyeksiya matritsalari emas.

Lekin bularni hal qilish eng oson Bs to'g'ridan-to'g'ri, ushbu ifodani va uning birinchi hosilasini baholash orqali t = 0, nuqtai nazaridan A va Men, yuqoridagi javobni topish uchun.

Ammo bu oddiy protsedura ham ishlaydi nuqsonli matritsalar, Byuxgeym tufayli umumlashmada. Bu matritsaning 4 × 4 misoli uchun bu erda ko'rsatilgan diagonalizatsiya qilinmaydi, va Blar proyeksiya matritsalari emas.

o'zgacha qiymatlar bilan λ₁ = 3/4 va λ₂ = 1, har biri ikkitadan kattaroq.

Har bir o'ziga xos qiymatning eksponentligini ko'paytirib ko'rib chiqing t, exp (λ_ment). Har bir yuqori darajadagi o'ziga xos qiymatni tegishli aniqlanmagan koeffitsient matritsasi bilan ko'paytiring B_men. Agar o'ziga xos qiymatlar algebraik ko'paytma 1 dan katta bo'lsa, u holda jarayonni takrorlang, ammo endi qo'shimcha omil bilan ko'paytiring t har bir takrorlash uchun, chiziqli mustaqillikni ta'minlash.

(Agar bitta o'ziga xos qiymat uchga ko'paygan bo'lsa, unda uchta atama bo'ladi: . Aksincha, barcha o'ziga xos qiymatlar farqlanganda, Blar shunchaki Frobenius kovariantlariva ular uchun quyida keltirilgan echim shunchaki ning teskari tomoniga to'g'ri keladi Vandermond matritsasi Ushbu 4 o'ziga xos qiymatdan.)

nazaridan A va identifikatori uchun to'rtta tenglama kerak, yuqoridagi tenglamani taqdim etadi t = 0. Bundan tashqari, uni nisbatan farqlang t, Oldindan biz bir hil tenglamani umumiy echimiga egamiz.

Shunday shartlarning barchasini jamlang, mana to'rttasi,

Barcha noma'lum matritsalar uchun hal qilish B ning dastlabki uchta vakolatlari nuqtai nazaridan A va identifikatori uchun to'rtta tenglama kerak, yuqoridagi tenglamani taqdim etadi t = 0. Bundan tashqari, uni nisbatan farqlang t, Oldindan biz bir hil tenglamani umumiy echimiga egamiz. Bir hil va alohida echimlarning yig'indisi bir hil bo'lmagan muammoning umumiy echimini bergani uchun, endi bizga faqat ma'lum echimni topish kerak.

Xulosa

Matritsa - bu uzuk yoki maydon elementlarining to'rtburchaklar jadvali shaklida yozilgan matematik ob'ekt (masalan, butun sonlar, haqiqiy yoki murakkab sonlar), bu uning elementlari kesishgan satrlar va ustunlar to'plamidir. joylashgan. Satrlar va ustunlar soni matritsa hajmini aniqlaydi. Tarixiy jihatdan ko'rib chiqilgan bo'lsa-da, masalan, uchburchak matritsalar endi ular faqat to'rtburchaklar matritsalar haqida gapirishadi, chunki ular eng qulay va umumiydir.

Matritsalar matematikada chiziqli algebraik yoki differentsial tenglamalarning ixcham tizimlarini yozishda keng qo'llaniladi. Bunday holda, matritsa qatorlari soni tenglamalar soniga, ustunlar soni esa noma'lumlar soniga to'g'ri keladi. Natijada, chiziqli tenglamalar tizimining echimi matritsalardagi ishlarga kamayadi.