Matritsa haqida Matritsaviy eksponenta

Lineer differentsial tenglama tizimlari

Asosiy maqola: Matritsali differentsial tenglama

Matritsaning eksponentligi muhimligining sabablaridan biri shundaki, u chiziqli tizimlarni echishda ishlatilishi mumkin oddiy differentsial tenglamalar. Ning echimi



 Jakobining formulasi, har qanday murakkab kvadrat matritsa uchun quyidagilar izni hisobga olish ushlab turadi Ushbu formula hisoblash vositasini taqdim etish bilan bir qatorda, matritsaning eksponentligi har doim $ a $ ekanligini ko'rsatadi qaytariladigan matritsa. Bu yuqoridagi tenglamaning o'ng tomoni har doim nolga teng emasligidan kelib chiqadi va shuning uchun det (e^A) ≠ 0, bu shuni anglatadiki e^A teskari bo'lishi kerak.

Haqiqiy qiymatda formulada xarita ham namoyish etiladi

bo'lmaslik shubhali, ilgari aytib o'tilgan murakkab ishdan farqli o'laroq. Bu haqiqiy qiymatli matritsalar uchun formulaning o'ng tomoni har doim musbat, salbiy teskari determinantli teskari matritsalar mavjudligidan kelib chiqadi.

Har qanday haqiqiy raqamlar (skalar) uchun x va y biz eksponent funktsiyani qondirishini bilamiz e^x+y = e^x e^y. Xuddi shu narsa matritsalarni almashtirish uchun ham amal qiladi.



Agar matritsalar bo'lsa X va Y qatnov (bu degani XY = YX), keyin, Boshqa yo'nalishda, agar  va  Bizda matritsalar etarlicha kich Kommutativlikka talab yo'q. Oltin-Tompson tengsizligini uchta matritsaga etkazish mumkin emasligini ko'rsatadigan qarshi misollar mavjud va har qanday holatda ham tr (exp (Aexp (Bexp (C)) Hermitian uchun haqiqiy bo'lishi kafolatlanmagan A, B, C. Biroq, Lieb isbotlangan^[7][8]agar ifodani quyidagicha o'zgartirsak, uni uchta matritsaga umumlashtirish mumkinik (ammo shart emas)

Matritsaning eksponentligi har doim $ an $ ga teng qaytariladigan matritsa. Ning teskari matritsasi e^X tomonidan berilgan e^−X. Bu murakkab sonning eksponentligi har doim nolga teng bo'lishiga o'xshashdir. Keyinchalik eksponent matritsa bizga xaritani beradi





Matritsaning eksponentligi har doim $ an $ ga teng qaytariladigan matritsa. Ning teskari matritsasi e^X tomonidan berilgan e^−X. Bu murakkab sonning eksponentligi har doim nolga teng bo'lishiga o'xshashdir. Keyinchalik eksponent matritsa bizga xaritani beradi

bu erda ‖ · ‖ o'zboshimchalikni bildiradi matritsa normasi. Bundan kelib chiqadiki, eksponensial xarita davomiy va Lipschitz doimiy kuni ixcham kichik guruhlari M_n(C).

Yuqoridagi ifodadagi koeffitsientlar eksponentda ko'rinadiganidan farq qiladi. Yopiq shakl uchun qarang eksponent xaritaning hosilasi. Matritsali eksponensialni hisoblashning ishonchli va aniq usullarini topish qiyin, va bu hali ham matematikada va raqamli tahlilda dolzarb tadqiqotlar mavzusi. Matlab, GNU oktaviva SciPy hammasidan foydalaning Padé taxminiy.^[12][13][14] Ushbu bo'limda biz printsipial jihatdan har qanday matritsada qo'llaniladigan va kichik matritsalar uchun aniq bajarilishi mumkin bo'lgan usullarni muhokama qilamiz.^[15] Keyingi bo'limlarda katta matritsalarda raqamli baholash uchun mos usullar tasvirlangan. Qo'llash Silvestr formulasi xuddi shu natijani beradi. (Buni ko'rish uchun, diagonali matritsalarni qo'shish va ko'paytirish, shuning uchun eksponentatsiya qilish elementlar bo'yicha donalashtirish va ko'paytirishga, shuning uchun

eksponentatsiyaga teng ekanligini, xususan, "bir o'lchovli" ko'rsatkichni diagonal uchun elementar his etilishini unutmang. ish.)