Materiallar

9.2.  Ishlar  va  ko‘chishIarning  o ‘zaro  bogManishi  h aqidagi
teorem alar
Ikki  xil  kuch  ta ’sirida  m uvozanatda  boMgan  elastik  sistemaning  ikki 
holatini  ko'rib  o ‘tamiz.  Birinchi  holatda  sistemaga  P  kuchi,  ikkinchi  holat­
da  F  kuchi  ta’sir  etadi  deylik  (9.7-rasm).
Sistemaning  ko‘chishlarini  A/;/-tarzida  belgilaymiz.  Bunda  birinchi  in­
deks  ko‘chayotgan  nuqta  va  uning  y o ‘nalishini,  ikkinchi  indeks  esa 
ko‘chishni  vujudga  keltirayotgan  sababni  anglatadi.  0 ‘qilishi  bunday:  P  kuchi 
qo'yilgan  nuqtaning  shu  kuch  (ya’ni  P  kuchi)  yo'nalishida  F   kuchi  ta ’sirida 
vujudga  kelgan  ko'chish.
A №  -   P  kuchi  yo'nalishida  shu  kuch  ta’sirida  vujudga  kelgan  ko 'ch ish  
deylik.  Bu  ko'chishning  vujudga  kelishida  P  kuchi  bajargan  ish  A pp  boMsin. 
Xuddi  shuningdek,  A g   ko'chishning  vujudga  kelishida  F   kuchi  bajargan 
ishni  A ff  deb  belgilaylik.  A gar  h ar  ikkala  kuch  balkaga  statik  
ta’sir  etsa,  bu  kuchlar  bajargan  ish  quyidagi  formuladan  topiladi:
P
1 -holat
PP
b)
2-holat 
I
F

---

Agar  har  ikkala  ishni  ichki  kuchlar  orqali  ifodalasak
kelib  chiqadi.
Endi  o ‘sha  (9.7-rasm )  sistem aga  P  va  F  kuchlarining  oldinm a-keyin 
qo‘yilish  jarayonini  ko‘rib  o ‘taylik.
Avval  sistemaga  statik  ortib  boruvchi  P  kuchi  qo'yiladi,  deylik  (9.8- 
rasm).  P  kuchi  o ‘zining  tugal  qiymatiga  erishganda,  sistem ada  9.7-rasm, 
a  da  ko‘rsatilgandek  vaziyat  vujudga  keladi,  y a’ni  P  kuchi  ostida  A pp 
ko ‘chish  hosil  boMadi.  Bu  k o ‘ch ish n in g   vujudga  k e lish id a   P  k u chi 
Aw  = P A pp/ 2  ga  teng  boMgan  ish  bajaradi.  Shundan  so ‘ng  solqi  sistemaga 
F  kuchi  q o ‘yiladi.  B u  kuch  ta ’sirida  sistem a  solqilanishda  davom   etib,
9.7-rasm,  b  da  ko‘rsatilgan  vaziyat  vujudga  keladi.  Bunda  P  kuchi  ostida 
A pJ  ga  teng  boMgan  qo'shim cha  solqilik  hosil  boMadi.  F  kuchining  qiymati 
noldan  o ‘zining  tugal  qiymatiga  qadar  ortib  borganda,  P  kuchining  qiymati 
o‘zgarmasdan,  A pf  =  P A pf  ga  teng  boMgan  qo‘shimcha  ish  bajaradi.  F  ku­
chining  o ‘zi  esa  Aff  = F A f f / 2   miqdorida  ish  bajaradi.
Shunday  qilib,  sistemaga  ketma-ket  ravishda  P  va  F   kuchlari  qo‘yilsa, 
ularning  bajargan  toMiq  ishi
ga  teng  boMadi.
Agar kuchlam ing  qo‘yilish tartibini  o ‘zgartirsak,  ya’ni  a w a l  F  va  so‘ngra 
P  kuchlarini  qo ‘ysak,  u  holda  toMiq  ish  quyidagi  ko'rinishda  ifodalanadi:
(a)
P
F
PP
'it
9.8-rasm.
(b)

---

Biroq  kuchlam ing  qo‘yilish  tartibi  o ‘zgarishi  bilan  bajarilgan  to 'liq   ish- 
ning  mikdori  o'zgarmaydi.  Shunga  ko 'ra  (a)  va  (b)  ifodalami  tenglashtirib, 
quyidagi  hulosaga  ega  bo'Iamiz:
Р \
г
=
ғ
*
ф
Bu  yerda  P A pf  birinchi  holatdagi  P  kuchining  shu  yo'nalishda,  ikkinchi 
holatdagi  F   kuchidan  hosil  bo'lgan  ko'chishning  vujudga  kelishida  bajar­
gan  ishidir.  F A /p  esa  ikkinchi  holatdagi  F  kuchining  shu  kuch  yo'nalishida, 
birinchi  holatdagi  P  kuchi  ta’sirida  hosil  bo'lgan  ko'chishning  vujudga  ke­
lishida  bajargan  ishidir  (9.7-rasm).
Shunday  qilib,  birinchi  holatdagi  kuchlaming  shu  kuchlar  yo'nalishida 
ikkinchi  holat  kuchlari  ta’sirida  hosil  bo'lgan  ko'chishlarning  vujudga  ke­
lishida  bajargan  ishi  ikkinchi  holatdagi  kuchlam ing  shu  kuchlar yo'nalishida 
birinchi  holat  kuchlari  ta ’sirida  hosil  bo'lgan  ko'chishlarning  vujudga  ke­
lishida  bajargan  ishiga  tengdir.
Bu  hulosa  ishlaming o'zaro  bog'lanishi  haqidagi  teorema yoki  uning  mual- 
lifi  Italiya  olimi  Enriko  Betti  (1823-1892)  teoremasi  nomi  bilan  mashhurdir:
Endi  ko'chishlarning  o'zaro  bog'lanishi  hakidagi  teorema  bilan  tanishib 
chiqamiz.
Buning  uchun  yana  balkaning  ikki  holatini  ko'rib  o'tamiz.  Birinchi  holatda 
balkaga  P=1  kuchi,  ikkinchi  holatda  esa  F= 1  kuchi  qo'yilgan  (9.9-rasm).
Balkaga  qo'yilgan  kuchlaming  qiymati  birga  teng  boMganligi  sababli
balkaning  holatini  b i r l i k   h o l a t  
deb  aytamiz.
7$ » — —— ---------- 1-----
b)  2-holat
F=1
Birlik  kuch  ta ’sirida  hosil  bo'lgan 
ko'chishlar  8   harfi  bilan,  birdan  farq 1 i 
kuchlardan  hosil  b o 'lg an   k o 'c h ish la r 
esa,  Д harfi  bilan  belgilanadi.  Shunga 
binoan  birinchi  holatdagi  ko'chishni  S fp 
ikkinchi  holatdag i  k o 'c h is h n i  esa 
8 pf tarzida  belgiladik.  Har  ikkalasi  ham 
birlik  kuchlardan  hosil  bo'lg an  birlik 
ko'chishlardir.