Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

4-teorema (ekstremum mavjud bo‘lishining etarli harti). Agar funksiya birinchi tur kritik nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo‘lib,
nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tganida hosila: ishorasini musbatdan manfiyga o‘zgartirsa nuqta maksimum nuqta bo‘ladi; manfiydan musbatga o‘zgartirsa nuqta minimum nuqta bo‘ladi; ishorasini o‘zgartirmasa nuqtada ekstremum mavjud bo‘lmaydi.
Isboti. birinchi tur kritik nuqta va da , da bo‘lsin. U holda 1-teoremaga ko‘ra funksiya intervalda o‘sadi va intervalda kamayadi. Demak, funksiyaning nuqtadagi qiymati uning nuqtadagi qiymatidan katta bo‘ladi , ya’ni funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
da va da bo‘lgan hol uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
Funksiyani ekstremumga tekshirish - bu funksiyaning barcha ekstremumlarini
topish demakdir. Ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy va yetarli shartlaridan
quyidagi funksiyani ekstremumga tekshirish qoidasi kelib chiqadi:
funksiyaning birinchi tur kritik nuqtalari topiladi;
bu nuqtalardan funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lganlari tanlanadi;
tanlangan nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishda hosilanig ishorasi tekshiriladi;
4- teoremaga asosan funksilaning ekstremum nuqtalari (agar ular bor
bo‘lsa) aniqlanadi va funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi.
Misol
funksiyaning ekstremumlarini topamiz. , ya’ni Hosila nuqtada mavjud emas va nuqtada nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi. Hosilaning har bir kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini chizmada belgilaymiz:
Demak, minimum nuqta, va maksimum nuqta,
.
Misol
Asosi ga va balandligi ga teng uchburchakka eng katta yuzaga ega bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ichki chizilgan. Bu to‘rtburchakning yuzasini topamiz.
To‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari va bo‘lsin.
Uchburchaklarning o‘xshashlik alomatidan topamiz (13-shakl):
.
U holda va
dan
Bu qiymatda va to‘g‘ri to‘rtburchak eng katta yuzaga ega bo‘ladi.
da va eng katta to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasi
(yuza.b)