Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Matematikadan o’quv-uslubiy majmua Funksiyaning ekstremumlari

6- MAVZU. FUNKSIYANING EKSTREMUMLARI


Reja:

1. 
   Funksiyaning monotonlik shartlari
   
2. 
   Funksiyaning ekstremumlari
   
3. 
   Kesmada uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
   

Differensial hisobning tatbiqlaridan biri hosilaning funksiyalarni tekshirish va grafigini chizishga qo‘llanilishi hisoblanadi. Quyida bu tatbiqlarni ifodalovchi teoremalarni keltiramiz.

1. Funksiyaning monotonlik shartlari
1-teorema (funksiya monoton bo‘lishining zaruriy sharti). Agar intervalda differensiallanuvchi funksiya shu intervalda o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lsa, u holda da

bo‘ladi.
Isboti. funksiya intervalda o‘suvchi bo‘lsin. , nuqtalarni olamiz. U holda .Bundan yoki Teorema shartiga ko‘ra funksiya intervalda differensiallanuvchi, ya‘ni hosila mavjud. Demak,
funksiya intervalda kamayuvchi bo‘lganda teorema shu kabi isbotlanadi.
Bu teorema ushbu geometrik talqinga ega: biror intervalda differensiallanuvchi bo‘lgan o‘suvchi (kamayuvchi) funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinmalar o‘qning musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir (o‘tmas) burchak tashkil qiladi yoki ayrim nuqtalarda o‘qiga parallel bo‘ladi (8-shakl) ((9-shakl)).




2-teorema (funksiya monoton bo‘lishining etarli sharti). Agar intervalda differensiallanuvchi funksiya uchun da bo‘lsa, funksiya intervalda o‘sadi (kamayadi).
Isboti. bo‘lsin. , nuqtalarni olamiz.
kesmada Lagranj teoremasining shratlari bajariladi. Shu sababli Lagranj formulasiga binoan da bo‘ladi.
Teorema shartiga ko‘ra da, shu jumladan da .
va shuning uchun . Bundan yoki . Shunday qilib, funksiya da o‘sadi.
bo‘lganda teorema shu kabi isbotlanadi.
Funksiya o‘suvchi va kamayuvchi bo‘lgan intervallar funksiyaning monotonlik
intervallari deb ataladi.
Misol
funksiyaning monotonlik intervallarini topamiz.
.
U holda: dan yoki dan yoki
Demak, funksiya intervalda o‘sadi, intervalda
kamayadi.