Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

2. Funksiyaning ekstremumlari
1- ta’rif. Agar nuqtaning shundav atrofi topilsaki, bu atrofning barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi. Shu bilan birga funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta minimumga yoki maksimumga erishishi va bunda maksimumlardan ayrimlari qandaydir minimumdan kichik bo‘lishi mumkin (10-shakl).
3-teorema (ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, shu nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isboti. nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U holda
s hunday interval topiladiki , bu intervalda funksiya o‘zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishadi. U holda Ferma teoremasiga ko‘ra bo‘ladi.
Bu teorema quyidagicha geometrik talqinga ega. Agar nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsa (masalan, 10-shaklda nuqta), funksiya grafigiga shu nuqtada urinma o‘tkazish mumkin va bu urinma o‘qiga parallel bo‘ladi.
Bu teorema funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lib, differensiallanuvchi bo‘lmasa ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, uzluksiz funksiya nuqtada hosilaga ega emas, ammo minimum nuqta (11-shakl).
hosila nolga teng bo‘lgan yoki mavjud bo‘lmagan nuqtaga birinchi tur kritik nuqta deyiladi. Hamma birinchi tur kritik nuqta ham ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Masalan, funksiya uchun da . Demak, kritik nuqta, ammo u ekstremum nuqta emas (12-shakl).
Shunday qilib, shart ekstremum mavjud bo‘lishligining zaruriy sharti boladi.